In diesem Kapitel diskutieren wir die Folgen der Einführung eines Zeitquantums τ0 im Formalismus der nichtrelativistischen Quantenmechanik, indem wir uns insbesondere auf die von Caldirola vorgeschlagene Theorie des Chronons 1956; 1979a). Eine solche interessante „Finite-Differenzen“ -Theorie, die – auf der klassischen Ebene – eine selbstkonsistente Lösung für die Bewegung eines geladenen Teilchens wie eines Elektrons in einem externen elektromagnetischen Feld darstellt, wenn seine Ladung nicht als vernachlässigbar angesehen werden kann, überwindet alle bekannten Schwierigkeiten der Abraham–Lorentz- und Dirac—Ansätze (und erlaubt sogar eine klare Antwort auf die Frage, ob ein frei fallendes Elektron Strahlung emittiert oder nicht) und — auf der Quantenebene – ergibt ein bemerkenswertes Massenspektrum für Leptonen.
Nach einer kurzen Überprüfung des Caldirola-Ansatzes besteht unser erstes Ziel darin, die neuen Formulierungen der Quantenmechanik (QM) zu diskutieren und zu vergleichen, die daraus in den Schrödinger-, Heisenberg- und Dichteoperator-Bildern (Liouville-von Neumann) abgeleitet werden können.
Für jedes Bild sind drei (retardierte, symmetrische und fortgeschrittene) Formulierungen möglich, die sich entweder auf die Zeiten t und t − τ0 oder die Zeiten t − τ0 / 2 und t + τ0 / 2 bzw. die Zeiten t und t + τ0 beziehen. Wir werden sehen, dass, wenn das Chronon gegen Null tendiert, das gewöhnliche QM nur als Grenzfall der „symmetrischen“ Formulierung erhalten wird; während das „verzögerte“ Szenario natürlich QM mit Reibung zu beschreiben scheint, das heißt, es beschreibt dissipative Quantensysteme (wie ein Teilchen, das sich in einem absorbierenden Medium bewegt). In diesem Sinne ist diskretisiertes QM viel reicher als das gewöhnliche.
Wir erhalten auch die (verzögerte) Finite-Differenzen-Schrödinger-Gleichung innerhalb des Feynman-Pfadintegralansatzes und untersuchen einige ihrer relevanten Lösungen. Wir leiten dann die Zeitentwicklungsoperatoren dieser diskreten Theorie ab und verwenden sie, um die Heisenbergschen Finite-Differenzen-Gleichungen zu erhalten.
Bei der Erörterung der gegenseitigen Kompatibilität der verschiedenen Bilder von QM, die aus diesem Verfahren hervorgehen, finden wir, dass sie in einer Form geschrieben werden können, so dass sie alle äquivalent sind (wie es im „kontinuierlichen“ Fall von gewöhnlichem QM der Fall ist), obwohl der Heisenberg-Fall nicht durch direkte Diskretisierung der gewöhnlichen Heisenberg-Darstellung abgeleitet werden kann.
Schließlich werden einige typische Anwendungen und Beispiele untersucht, wie der Fall eines freien Teilchens (Elektrons), des harmonischen Oszillators und des Wasserstoffatoms; und verschiedene Fälle werden notiert, für die sich die Vorhersagen von diskreter QM von denen unterscheiden, die von kontinuierlicher QM erwartet werden.
Schließlich wird der Dichtematrix-Formalismus als mögliche Lösung des Messproblems in QM mit interessanten Ergebnissen angewendet. Zum Beispiel eine natürliche Explikation von „Dekohärenz“, die die Kraft von diskretisiertem (insbesondere verzögertem) QM offenbart.