Dans ce chapitre, nous discutons des conséquences de l’introduction d’un quantum de temps τ0 dans le formalisme de la mécanique quantique non relativiste, en se référant notamment à la théorie du chronon telle que proposée par Caldirola ( 1956; 1979a). Une théorie aussi intéressante de la « différence finie » avance – au niveau classique — une solution auto—cohérente pour le mouvement dans un champ électromagnétique externe d’une particule chargée comme un électron, lorsque sa charge ne peut être considérée comme négligeable, surmontant toutes les difficultés connues rencontrées par les approches d’Abraham-Lorentz et de Dirac (et permettant même une réponse claire à la question de savoir si un électron en chute libre émet ou non un rayonnement), et – au niveau quantique – donne un spectre de masse remarquable pour les leptons.
Après avoir brièvement passé en revue l’approche de Caldirola, notre premier objectif est de discuter et de comparer les nouvelles formulations de la mécanique quantique (MQ) qui peuvent en être tirées dans les images de Schrödinger, Heisenberg et de l’opérateur de densité (Liouville-von Neumann), respectivement.
Pour chaque image, trois formulations (retardées, symétriques et avancées) sont possibles, qui se réfèrent soit aux temps t et t−τ0, soit aux temps t−τ0 /2 et t + τ0/2, soit aux temps t et t + τ0, respectivement. Nous verrons que, lorsque le chronon tend vers zéro, le QM ordinaire est obtenu comme cas limite de la formulation « symétrique » uniquement ; alors que le scénario « retardé » semble naturellement décrire le QM à friction, c’est-à-dire qu’il décrit des systèmes quantiques dissipatifs (comme une particule se déplaçant dans un milieu absorbant). En ce sens, la QM discrétisée est beaucoup plus riche que l’ordinaire.
Nous obtenons également l’équation de Schrödinger à différence finie (retardée) dans l’approche intégrale du chemin de Feynman et étudions certaines de ses solutions pertinentes. Nous dérivons ensuite les opérateurs d’évolution temporelle de cette théorie discrète et les utilisons pour obtenir les équations de Heisenberg à différences finies.
En discutant de la compatibilité mutuelle des différentes images de QM qui émergent de cette procédure, nous constatons qu’elles peuvent être écrites sous une forme telle qu’elles soient toutes équivalentes (comme c’est le cas dans le cas « continu » de QM ordinaire), même si le cas de Heisenberg ne peut pas être dérivé par discrétisation directe de la représentation de Heisenberg ordinaire.
Enfin, quelques applications et exemples typiques sont étudiés, comme le cas d’une particule libre (électron), de l’oscillateur harmonique et de l’atome d’hydrogène ; et divers cas sont notés pour lesquels les prédictions de QM discrètes diffèrent de celles attendues d’une QM continue.
Enfin, le formalisme de la matrice densité est appliqué comme solution possible du problème de mesure en QM avec des résultats intéressants. Par exemple, une explication naturelle de la « décohérence » qui révèle le pouvoir de la MQ discrétisée (en particulier retardée).