Ympyräradat

tarkempi käyttäytyminen todellisia kiertoratoja on huolenaihe taivaanmekaniikka (KS.artikkeli taivaanmekaniikka). Tässä jaksossa käsitellään vain maan kaltaisen planeetan idealisoitua, yhtenäistä pyöreää rataa jonkin keskuskappaleen kuten Auringon ympärillä. Itse asiassa Maan kiertorata Auringon ympärillä ei ole aivan tarkalleen tasaisen pyöreä, mutta se on riittävän lähellä likiarvo tässä keskustelussa.

tasaisessa ympyräliikkeessä oleva kappale käy läpi koko ajan keskihakukiihtyvyyden, joka saadaan yhtälöllä (40). Newtonin toisen lain mukaan tämän kiihtyvyyden aikaansaamiseen tarvitaan voima. Kiertävän planeetan tapauksessa voima on painovoima. Tilannetta havainnollistetaan kuvassa 9. Auringon vetovoima on maahan vaikuttava sisäänpäin kääntyvä (keskihakuinen) voima. Tämä voima saa aikaan kiertoradan liikkeen keskihakukiihdytyksen.

ennen kuin nämä ajatukset ilmaistaan kvantitatiivisesti, on hyödyllistä ymmärtää, miksi tarvitaan voimaa, jotta kappale pysyisi vakionopeudella kulkevalla radalla. Syynä on se, että jokaisella hetkellä planeetan nopeus on tangentti kiertoradalla. Painovoiman puuttuessa planeetta tottelisi inertialakia (Newtonin ensimmäinen laki) ja lentäisi suoraan nopeuden suuntaan vakionopeudella. Painovoima auttaa voittamaan planeetan inertiataipumuksen ja siten pitämään sen kiertoradalla.

kahden kappaleen, kuten auringon ja maan, välinen painovoima saadaan

missä MS ja ME ovat auringon ja maan massat, vastaavasti r on niiden keskipisteiden välinen etäisyys, ja G on yleisvakio, joka on yhtä suuri kuin 6,674 × 10-11 Nm2/kg2 (Newtonmetrit neliötä kilogrammaa kohti neliö). Voima vaikuttaa kaksi kappaletta yhdistävään suuntaan (eli tasaisen ympyräliikkeen säteen vektoria pitkin), ja miinusmerkki tarkoittaa, että voima on houkutteleva, toimien vetäen maata kohti aurinkoa.

maan pinnalla olevan havaitsijan mielestä planeetta näyttää olevan levossa (suunnilleen) vakioetäisyydellä auringosta. Havaitsijasta näyttää siis siltä, että minkä tahansa maan päällä vaikuttavan voiman (kuten auringon painovoiman) täytyy olla tasapainossa sellaisen samanarvoisen ja vastakkaisen voiman kanssa, joka pitää maan tasapainossa. Toisin sanoen, jos painovoima yrittää vetää maata aurinkoon, jonkin vastavoiman täytyy olla läsnä, jotta se ei tapahtuisi. Todellisuudessa sellaista voimaa ei ole olemassa. Maa on vapaasti kiihdytetyssä liikkeessä epätasapainoisen voiman takia. Näennäinen voima, joka mekaniikassa tunnetaan pseudovoimana, johtuu siitä, että havaitsija on todellisuudessa kiihtyvässä liikkeessä. Orbitaaliliikkeen tapauksessa ulospäin suuntautuvaa pseudovoimaa, joka tasapainottaa painovoimaa, kutsutaan keskipakoisvoimaksi.

yhdenmukaisella ympyräradalla gravitaatio tuottaa sisäänpäin kiihtyvyyden, joka saadaan yhtälöllä (40), a = −v2/r. tämän kiihtyvyyden tasapainottamiseen tarvittava pseudovoima f on juuri yhtä suuri kuin maan massa kertaa yhtä suuri ja vastakkainen kiihtyvyys eli f = MEv2/r. maahan suuntautunut havaitsija uskoo tällöin, ettei planeetalla ole nettovoimaa—ts., että F + f = 0, missä F on yhtälön (41) antama painovoima. Yhdistämällä nämä yhtälöt saadaan suhde nopeuden v planeetan ja sen etäisyys R auringosta:

on huomattava, että nopeus ei riipu planeetan massasta. Tämä tapahtuu täsmälleen samasta syystä, että kaikki kappaleet putoavat maata kohti samalla kiihtyvyydellä ja että heilurin jakso on riippumaton sen massasta. Kiertävä planeetta on itse asiassa vapaasti putoava kappale.

yhtälö (42) on Keplerin kolmannen lain erikoistapaus (ympyräradoille), jota käsitellään artikkelissa taivaanmekaniikka. Käyttämällä sitä, että v = 2NR/T, jossa 2NR on kiertoradan ympärysmitta ja T on aika tehdä täydellinen kiertorata (eli T on yksi vuosi planeetan elämässä), on helppo osoittaa, että T2 = (4π2/GMS)r3. Tätä suhdetta voidaan soveltaa myös satelliitteihin, jotka ovat Maata kiertävällä kiertoradalla (jolloin me on korvattava MS: llä) tai minkä tahansa muun keskuskappaleen kiertoradalla.