”kukaan ei aja meitä paratiisista, jonka Cantor loi meille” — David Hilbert
mikä olisikaan parempi tapa viettää aikaa eristyksissä kuin pohtia ääretöntä? Let ’ s todistaa ehkä yksinkertaisin ja tyylikkäin todiste matematiikassa: Cantor lause.
sanoin yksinkertaista ja eleganttia,ei kuitenkaan helppoa!
Osa I: Lausutaan ongelma
Cantorin lause vastaa kysymykseen siitä, voidaanko joukon elementit laittaa yksi yhteen-vastaavuuteen (”pariliitokseen”) sen osajoukkojen kanssa. (Teknisesti ottaen ”bijektio”). Tällainen ongelma liittyy matemaattiseen käsitteeseen nimeltä ”kardinaalisuus”. Voimme tarkastella yksi-To-one kirjeenvaihto jonkinlainen joukko-teoreettinen matemaattinen dating: haluamme jokaisen elementin asettaa löytää sen romanttinen ottelu toisessa joukko, mutta haluavat välttää moniavioisuus, ja haluamme välttää matemaattisia esineitä on yksi.
esimerkiksi joukolla {1,2,3} on 3 alkiota: 1, 2, 3.
sillä on 8 osajoukkoa: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
missä {} tunnetaan ”tyhjänä joukkona”. Voit sivuuttaa sen onnellisesti toistaiseksi, jos se tekee olosi epämukavaksi: se ei ole tärkeää. Vaihtoehtoisesti, tarkastella edellä kolme palloa numeroitu 1,2,3 ja subsets eri tavoin voit laittaa pallot pieni säkki. Yksi asia, mitä voit tehdä, on laittaa mitään pussiin: tyhjä Setti.
toistaiseksi, so * easy*. Loppujen lopuksi rajallinen asetetaan tämä osoittautuu varsin ilmeinen. Jos joukolla on n alkioita, niin osajoukoilla on 2**n alkioita. Edellä joukko {1,2,3} on 3 elementtejä, ja joukko subsets (se on suupala ja sekava lukea, mutta katso esimerkki unconfuse itse!) on 8 elementtiä. 8 = 2*2*2 = 2**3 kuten lupasin.
** * lausuma ”osajoukkojen joukko” voi olla hieman pelottava. Jotta tuntisit olosi hieman mukavammaksi, varmista ensin itsellesi, että osajoukko on järkevä matemaattinen objekti. Jos minulla on joitakin matemaattisia objekteja, voin ryhmitellä joitakin niistä yhteen ja jättää toiset pois. Voit nähdä alkuperäisen sarjan kaikki jalkapalloilijat, ja joukko subsets kuin kaikki mahdolliset joukkueet voit tehdä näistä pelaajista, kaikenkokoisia. Kun pääsemme ”äärettömään” pelaajamäärään, asioita voi olla hieman vaikeampi hahmottaa, mutta perusidea on sama.***
mutta Cantor oli asettanut tähtäimensä suuremmaksi. Entä sarjat, joissa on ääretön määrä elementtejä? Voimmeko verrata kokoa kaksi sarjaa ääretön määrä elementtejä? Kyllä.)
vaihe II: todistus
kanttori olettaa, että olet löytänyt parinmuodostuksen, joka toimii.
eli sinulla on funktio, jonka laitat joukon alkioon, ja lähtö on osajoukko. Ei vain, että, mutta jokainen osajoukko voit osoittaa elementti, joka saa ”kartoitettu” tai ”lähetetään” funktion osaksi, että osajoukko. Ei myöskään kahta elementtiä saada lähettää samaan osajoukkoon.
yllä olevassa esimerkissä joku voi ehdottaa funktiota, joka lähettää 1 joukolle {1}, 2 joukolle {2,3} ja 3 joukolle {1,2}. Mutta mitään ei lähetetä {1,2,3} : lle, joten tämä ei selvästikään toimi.
Yleistääkseen tämän Cantor pyytää meitä tarkastelemaan ”niiden elementtien joukkoa, jotka eivät sisälly siihen osajoukkoon, johon ne on kartoitettu”. Esim. edellä 3 lähetetään kohteeseen {1,2} , mutta 3 ei ole kohteessa {1,2}, joten se sopii kriteeriin hienosti.
matemaattisessa joukko-teoreettisessa iänmääritysfunktiossamme tämäkin joukko tarvitsee kumppanin. Mutta kuka voi olla tämän setin kumppani? Jos alkuaine lähetetään tähän joukkoon, niin jos se sisältyy tähän joukkoon, niin se ei voi olla. (eli ristiriita). Miksi? Koska se on sitten sisältyy osajoukko elementtejä se oli kartoitettu! Entä jos se ei ole siinä? Sitten sekin on ristiriita, ikään kuin se ei ole asetettu, jonka määritelmä asettaa, sen on oltava asetettu, koska se ei sisälly osajoukko se on kartoitettu.
ja niin Cantorin musta magia on tehty. Olettamalla meidän maaginen matemaattinen dating toiminto toimi, löysimme esimerkin, jossa se ei voinut toimia.