Abstrakti
Clebsch—Gordan kertoimet, joissa kolme kulmamomenta, j 1, J 2, ja j = j 3, on järjestetty uudelleen, voivat yksinkertaisesti liittyä toisiinsa. Kaikkein triviaalein tapaus liittyy kvanttilukujen kertalukujen J 1 m 1 ja J 2 m 2 vaihtoon. Tilavektori ❘ j 1, j 2 j 2 m 2〉 on kahden Hilbertin avaruuden erilliset aliavaruudet sisältävän vektorin suora tulo, tai koordinaattiesityksen osalta aaltofunktio on eri muuttujia sisältävien funktioiden tulo. Voi olla esimerkiksi orbitaalimuuttujien funktio ja spin-muuttujien funktio. Näin ollen näiden kahden funktion tulo ei saisi riippua siitä, missä järjestyksessä kirjoitamme nämä kaksi funktiota. Siksi, kun laajennamme tämän tuotteen funktio terras koko kulmamomentti eigenfunctions, tulos on riippumaton siitä, missä järjestyksessä me kirjoittaa alkuperäisen tuotteen funktio, tai, lukuun ottamatta mahdollista yli-kaikki vaihe tekijä. Tämä vaihe tekijä tulee, koska meidän vaihe yleissopimuksen vahvistamisesta yleinen merkki, Clebsch—Gordan kertoimet antaa etusija kulmikas momenta istuu numero 1 ja numero 3 kantoja, Clebsch—Gordan kerroin. Näin ollen 〈j 1 j 1 J 2 m 2❘j 3 j 3〉 Täytyy olla positiivinen meidän vaihe yleissopimuksen. Vastaavasti 〈J 2 J 2 j 1 m 1❘j 3 j 3〉 on myös positiivinen. Päinvastoin, Clebsch-Gordan kerroin 〈j 1 m 1 j 2 j 2❘j 3 j 3〉 on merkki m 1 = j 3− j 2 siten, sen merkki on.