suljettu pinta on pinta, joka on kompakti ja rajaton. Esimerkkejä ovat välilyönnit kuten pallo, torus ja Kleinin pullo. Esimerkkejä ei-suljetuista pinnoista ovat: avoin levy, joka on pallo, jossa on pisto; sylinteri, joka on pallo, jossa on kaksi pistoa; ja Möbius-nauha. Kuten minkä tahansa suljetun moniston kohdalla, euklidiseen avaruuteen upotettu pinta, joka on suljettu suhteessa perittyyn Euklidiseen topologiaan, ei välttämättä ole suljettu pinta; esimerkiksi levy, joka on upotettu R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
, joka sisältää rajansa, on pinta, joka on topologisesti suljettu, mutta ei suljettu pinta.
suljettujen pintojen luokitus
suljettujen pintojen luokittelulauseen mukaan mikä tahansa kytketty suljettu pinta on homeomorfinen jonkin näistä kolmesta perheestä jäsenen kanssa:
- pallo,
- g: n torin yhdistetty summa, kun g ≥ 1,
- K: n reaalisten projektiivisten tasojen yhdistetty summa, kun k ≥ 1.
kahden ensimmäisen perheen pinnat ovat suunnitteilla. On kätevää yhdistää nämä kaksi perhettä siten, että pallo on 0 torin yhdistetty summa. Mukana olevaa torin lukua g kutsutaan pinnan suvuksi. Pallolla ja toruksella on vastaavasti Eulerin ominaisuudet 2 ja 0, ja yleensä g-torin yhdistetyn summan Eulerin ominaisuus on 2-2G.
kolmannen perheen pinnat ovat ei-orientoituvia. Reaalisen projektiivisen tason Eulerin ominaisuus on 1, ja yleensä niiden K: n yhdistetyn summan Eulerin ominaisuus on 2 − k.
tästä seuraa, että suljettu pinta määritetään homeomorfismiin asti kahden tiedon perusteella: sen Euler-ominaisuus ja se, onko se orientoitavissa vai ei. Toisin sanoen Eulerin ominaisuus ja orientoituvuus luokittelevat suljetut pinnat täysin homeomorfismiin asti.
suljetut pinnat, joissa on useita toisiinsa kytkettyjä komponentteja, luokitellaan kunkin niihin liitetyn komponentin luokan mukaan, ja näin oletetaan yleisesti, että pinta on kytketty.
Monoid structureEdit
liittyneiden summien luokittelussa suljetut pinnat homeomorfismiin asti muodostavat kommutatiivisen monoidin kytketyn summan toiminnan alaisena, kuten myös minkä tahansa kiinteän ulottuvuuden monistot. Identiteetti on pallo, kun taas reaalinen projektiivinen taso ja torus generoivat tämän monoidin, jolla on yksi relaatio P # P # P = P # T, joka voidaan myös kirjoittaa P # K = P # T, koska K = P # P Tämä suhde tunnetaan joskus Dyckin teoreemana Walther von Dyckin mukaan, joka todisti sen (Dyck 1888), ja kolmoisristikkopintaa P # P # P kutsutaan vastaavasti Dyckin pinnaksi.
geometrisesti connect-sum toruksella (#T) lisää kahvan, jonka molemmat päät on kiinnitetty samalle puolelle pintaa, kun taas connect-sum Klein-pullolla (#k) lisää kahvan, jonka kaksi päätä on kiinnitetty vastakkaisille puolille suunnattavaa pintaa; projektiivisen tason (# P) läsnä ollessa pinta ei ole orientoituva (sivusta ei ole käsitettä), joten toruksen ja Kleinin pullon liittämisen välillä ei ole eroa, mikä selittää relaation.
pinnat, joiden raja on
kompaktit pinnat, mahdollisesti rajalliset, ovat yksinkertaisesti suljettuja pintoja, joilla on äärellinen määrä reikiä (avoimia levyjä, jotka on poistettu). Näin toisiinsa liitetty kompakti pinta luokitellaan rajakomponenttien lukumäärän ja vastaavan suljetun pinnan suvun mukaan-ekvivalentisti, rajakomponenttien lukumäärän, orientoituvuuden ja Eulerin ominaisuuden mukaan. Kompaktin pinnan suku määritellään vastaavan suljetun pinnan suvuksi.
tämä luokitus seuraa lähes välittömästi suljettujen pintojen luokittelusta: poistamalla avoimen levyn suljetusta pinnasta saadaan kompakti pinta, jossa on ympyrä rajakomponentille, ja poistamalla k avoimet levyt saadaan kompakti pinta, jossa on K disjoint circles rajakomponenteille. Reikien tarkoilla sijainneilla ei ole merkitystä, koska homeomorfismiryhmä vaikuttaa k-transitiivisesti mihin tahansa yhdistettyyn monistoon, jonka ulottuvuus on vähintään 2.
kääntäen kompaktin pinnan raja on suljettu 1-monisto, ja on siten äärellisen määrän ympyröitä muodostava hajanainen liitto; näiden ympyröiden täyttäminen levyillä (muodollisesti ottaen kartio) tuottaa suljetun pinnan.
suvun G ja K rajakomponenttien ainutlaatuinen kompakti orientoituva pinta merkitään usein Σ g, k, {\displaystyle \Sigma _ {g, k},}
esimerkiksi kartoitusluokkaryhmän tutkimuksessa.
Riemannin pinta-ala
Riemannin pinta on monimutkainen 1-monisto. Puhtaasti topologisella tasolla Riemannin pinta on siis myös tässä artikkelissa tarkoitettu orientoituva pinta. Itse asiassa jokainen kompakti suunnattava pinta on realisoitavissa Riemannin pinnaksi. Näin kompakteja Riemannin pintoja luonnehtii topologisesti niiden suku: 0, 1, 2,…. Toisaalta suku ei luonnehdi monimutkaista rakennetta. Esimerkiksi suvun 1 ei-isomorfisia kompakteja Riemannin pintoja (elliptiset käyrät) on lukemattomia.
ei-kompaktit pinnat
ei-kompaktit pinnat ovat vaikeammin luokiteltavia. Yksinkertaisena esimerkkinä voidaan saada ei-kompakti pinta puhkaisemalla (poistamalla äärellinen pistejoukko) suljettu monisto. Toisaalta mikä tahansa kompaktin pinnan avoin osajoukko on itsessään ei-kompakti pinta; tarkastellaan esimerkiksi palloon asetetun kanttorin komplementtia, joka tunnetaan myös Kanttoripuun Pintana. Jokainen ei-kompakti pinta ei kuitenkaan ole kompaktin pinnan osajoukko; kaksi kanonista vastaesimerkkiä ovat Jacobin tikkaat ja Loch Nessin hirviö, jotka ovat ei-kompakteja pintoja, joilla on ääretön suku.
ei-kompaktissa pinnassa M on ei-tyhjä päiden väli E (M), joka epävirallisesti kuvaa tapoja, joilla pinta ”menee äärettömyyteen”. Avaruus E (M) vastaa aina topologisesti Cantorin joukon suljettua aliavaruutta. M voi olla äärellinen tai countably ääretön määrä NH kahvat, samoin kuin äärellinen tai countably ääretön määrä NP projektiivisia tasoja. Jos sekä Nh että Np ovat äärellisiä, nämä kaksi lukua ja päätyavaruuden topologinen tyyppi luokittelevat pinnan M topologiseen ekvivalenssiin asti. Jos jompikumpi tai molemmat NH: sta ja Np: stä ovat äärettömiä, niin M: n topologinen tyyppi riippuu näiden kahden luvun lisäksi myös siitä, miten ääretön(s) lähestyy päiden avaruutta. Yleensä m: n topologinen tyyppi määräytyy E(M): n neljän osavälin mukaan, jotka ovat äärettömän monen kahvan ja äärettömän monta projektiivista tasoa, vain kahvan raja-pisteet ja kummankaan raja-pisteet.
pinnat, jotka eivät ole edes kakkoslukukelpoisia
jos pinnan määritelmästä poistetaan oletus kakkoslukukelpoisuudesta, on olemassa (välttämättä Ei-kompakteja) topologisia pintoja, joilla ei ole laskukelpoista pohjaa niiden topologialle. Ehkä yksinkertaisin esimerkki on pitkän janan Karteesinen tulo reaalilukujen avaruuden kanssa.
toinen pinta, jolla ei ole laskettavissa olevaa perustaa sen topologialle, mutta joka ei vaadi valinnan aksioomaa todistaakseen olemassaolonsa, on Prüferin monisto, joka voidaan kuvata yksinkertaisilla yhtälöillä, jotka osoittavat sen olevan reaalianalyyttinen pinta. Prüferin monistoa voidaan pitää ylempänä puolitasona yhdessä yhden ylimääräisen” kielen ” Tx: n kanssa,joka roikkuu siitä suoraan pisteen (x, 0) alapuolella, jokaiselle reaaliselle x: lle.
vuonna 1925 Tibor Radó todisti, että kaikki Riemannin pinnat (eli yksiulotteiset kompleksiset monistot) ovat välttämättä kakkosulotteisia (Radón lause). Jos taas prüferin pinnan konstruktiossa reaaliluvut korvataan kompleksiluvuilla, saadaan kaksiulotteinen kompleksinen monisto (joka on välttämättä 4-ulotteinen reaalinen monisto), jolla ei ole laskettavaa pohjaa.
ProofEdit
suljettujen pintojen luokittelu on tunnettu 1860-luvulta lähtien, ja nykyään on olemassa useita todistuksia.
topologiset ja kombinatoriset todisteet nojaavat yleensä siihen vaikeaan tulokseen, että jokainen kompakti 2-monisto on homeomorfinen simplikaalisen kompleksin kanssa, mikä on sinänsä kiinnostava. Yleisin todiste luokittelusta on (Seifert & Threlfall 1934) harv-virhe: ei kohdetta: Citerefseiferthrelfall1934 (ohje), joka tuo jokaisen kolmiomittatun pinnan vakiomuotoon. Yksinkertaistetun todisteen, joka välttää vakiomuodon, löysi John H. Conway noin 1992, jota hän kutsui ” nolla Irrelevanssi todiste ”tai” ZIP todiste ” ja on esitetty (Francis & viikkoa 1999).
geometrinen todiste, joka tuottaa vahvemman geometrisen tuloksen, on uniformisaatiolause. Tämän todistivat alun perin vain Riemannin pinnat 1880-ja 1900-luvuilla Felix Klein, Paul Koebe ja Henri Poincaré.