Jos #s# On joukko olioita, joilla on binäärioperaatio #@# (esim.yhteen-tai kertolasku), niin sanotaan, että se suljetaan#@#: n alle, jos ja vain jos #A@b: n S#: n kohdalla kaikille #a, b: n S#: n kohdalla.
eli kun otetaan huomioon mikä tahansa #S#: n kahdesta elementistä #A# ja #b#, lauseke #a@b# antaa toisen elementin #s#.
joten esimerkiksi parillisten kokonaislukujen joukko#{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… }# on suljettu sekä yhteen-että kertolaskussa, sillä jos lisätään tai kerrotaan kaksi parillista kokonaislukua, saadaan parillinen kokonaisluku.
sen sijaan parittomien kokonaislukujen joukko on suljettu kertolaskulla, mutta ei yhteenlaskulla.
tämä muuttuu paljon mielenkiintoisemmaksi, kun vaadimme myös sulkemista identiteetin ja käänteisyyden nimissä.
esimerkiksi rationaaliluvuilla #QQ# on ominaisuudet:
-
suljettu yhteenlaskussa #+# ja kertolaskussa #*#
-
Sisältää identiteetin #0# yhteenlaskulle ja #1# kertolaskulle.
-
Sisältää lisäaineen käänteislukuja mille tahansa alkuaineelle.
-
Sisältää multiplicative käänteislukuja tahansa ei-nolla Elementti.
-
useita muita ominaisuuksia, jotka kiehuvat yhteen-ja kertolasku toimii normaalisti (kommutatiivisuus, assosiatiivisuus, distributivity, jne).
rationaalilukujen sanotaan muodostavan kentän.
mitä tapahtuu, kun rationaalilukujen joukkoon lisätään #sqrt(2)#?
se lakkaa olemasta kiinni yhteen-tai kertolaskussa. Esimerkiksi:
-
jos lisätään jokin Rationaaliluku #sqrt(2)#, saadaan toinen irrationaaliluku.
-
jos kerrot minkä tahansa irrationaaliluvun (lukuun ottamatta #0# tai #1#) #sqrt(2)#: lla, saat toisen irrationaaliluvun.
jotta se voidaan sulkea uudelleen, meidän on sisällytettävä kaikki numerot muodossa:
#a+bsqrt(2)#
missä #A, b QQ#
sitten löydämme:
#(a+bsqrt (2)) + (C+dsqrt(2)) = (A+c)+(b+d) sqrt(2)#
#(a+bsqrt (2)) * (C+dsqrt (2)) = (ac+bd) + (ad+bc) sqrt(2)#
#(a+bsqrt(2))+(- a)+(- b)sqrt(2)) = 0#
#(a+bsqrt (2)) * (a / (a^2-2b^2)) – (b/(a^2-2b^2)) sqrt(2)) = 1#
kinkkinen on viimeinen, joka periaatteessa kertoo, että numerot muodossa #a+bsqrt (2)# ovat suljettuja multiplikatiivin käänteisessä kohdassa. Voisi sanoa, että ei-nollaluvut muodossa #a+bsqrt(2)# suljetaan jakolaskun alle.