tässä on paras tapa ajatella Christoffelin tunnuksia, ainakin aloittelijalle.
Oletetaan, että haluat tietää,muuttuuko vektori pisteestä toiseen allaolevassa monistossa eli aika-avaruudessa. Toisin sanoen, haluat erottaa vektorikenttäsi. On kaksi syytä, miksi voit rekisteröidä vektorikentän muutoksen laskelmissasi:
- itse vektori saattaa itse asiassa olla jossakin pisteessä erilainen kuin toisessa tai
- vektori voidaan kuvata eri pohjavektoreilla näissä kahdessa pisteessä. (Kun muutat perusta, osat asioita kuvaat muuttuu.)
kaikki vektorin arvossa havaitut muutokset pisteestä toiseen voivat olla peräisin jommastakummasta tai molemmista näistä lähteistä.
tärkeä seikka on se, että arvioitaessa sitä, onko vektori (kenttä) muuttunut aika-avaruuden pisteestä toiseen siirryttäessä, tarvitaan matematiikassa jotain selitystä sille, että perusta (eli koordinaattijärjestelmä) on muuttunut matkan varrella, niiden muutosten lisäksi, jotka ovat saattaneet tapahtua varsinaiselle vektorille itselleen.
tavallinen osittaisderivaatta ei tätä tee. Se vain olettaa, että perusta ei muutu. Yleisimmässä tapauksessa pohjavektorit kuitenkin muuttuvat. Tämän selittämiseksi korvaamme tavallisen osittaisderivaatan niin sanotulla kovarianttisella derivaatalla. Kovariantin derivaatan se osa, joka pitää kirjaa perusteen muutoksesta aiheutuvista muutoksista, on Christoffelin symbolit. Ne koodaavat, kuinka paljon perusvektorit muuttuvat, kun liikumme itse perusvektorien suunnassa.
miten tämä on hyödyllinen yleisessä suhteellisuusteoriassa? Se johtuu siitä, että GR mallintaa painovoiman aika-avaruuden moniston kaarevuutena, ja tieto tästä kaarevuudesta on koodattu Christoffelin symboleihin.
mutta jos Christoffelin symbolit ovat perustasta riippuvaisia (ja olemme juuri sanoneet, että ne ovat-eri koordinaattijärjestelmät/pohjavektorit antavat eri arvot Christoffelin symboleille), miten ne voivat antaa tietoa taustalla olevan moniston kaarevuudesta, jonka pitäisi olla riippumaton koordinaatistosta?
Christoffelin tunnukset eivät kerro kaarta suoraan. Mitä olemme tähän mennessä sanoneet, on selvää, että jotta Christoffelin symbolit olisivat nolla identtisesti, perusvektorit eivät saa muuttua, kun menemme pisteestä pisteeseen. Tämä tarkoittaa, että emme ota käyttöön mitään virheellisiä muutoksia vektorikenttiimme jättämällä laskematta perustan muutosta.
kaksi tärkeää asiaa:
-
ei-nolla Christoffel symbolit eivät tarkoita, että monisto on kaarevuus. Kaikki se tarkoittaa, että käytät basis vektorikenttää, joka muuttaa pituutta ja / tai suuntaa pisteestä toiseen. Yleinen esimerkki ovat tason napakoordinaatit. Nämä perusvektorit muuttuvat pisteestä toiseen, esimerkiksi perusvektori theta-suunnassa pitenee sitä kauemmaksi, mitä kauemmaksi päästään origosta säteittäisessä suunnassa. Tämä tarkoittaa, että sinulla on ainakin joitakin ei-nolla Christoffel symboleja. Mutta selvästi tila ei ole kaareva.
- katoavat Christoffel-symbolit eivät tarkoita, ettei tilassa olisi kaarevuutta. Se voi tarkoittaa, että kuljet geodeettista rataa pitkin. (Tämä on yleistys suorien kautta tavallisten tasainen tila on ” Lyhin etäisyys kahden pisteen.’) Tämän fyysinen vastine on vapaapudotus.
koska Christoffelin symbolit määrittelevät kovariantin derivaatan (ts. derivaatta, joka ottaa huomioon, miten perusvektorit muuttuvat), Sen avulla voidaan määritellä vektorin ”rinnakkaisliikenne”. Eli Christoffelin symboli kertoo, mitä tarkoittaa sanoa, että vektori siirtyy pisteestä toiseen siten, että se pysyy ”itsensä suuntaisena”. ”Yhdensuuntainen itsensä kanssa” tarkoittaa vain ”kovariantti derivaatta katoaa”.
kaarevuuden määritelmä (ainakin yksi niistä) riippuu tästä rinnakkaiskuljetusprosessista, jonka mahdollistaa kovariantti derivaatta, jonka puolestaan mahdollistavat Christoffelin symbolit.
perusajatus on, että jos siirrämme yhdensuuntaisesti vektorin silmukan yli (eli palaamme alkupisteeseemme), emme välttämättä pääty samaan vektoriin, jolla aloitimme. Tämä on totta, vaikka kuljetimme vektoria ”itsesuuntaisesti”. Ratkaiseva seikka kaarevuus ei ole vain, että päädymme eri vektori kuin aloitimme (joka voi tapahtua, kun kyseessä on nolla kaarevuus), mutta että täsmälleen mikä vektori päädymme kanssa riippuu polku otimme. Jos siis siirrät vektorin ”itsensä suuntaisesti” polkuja a ja b pitkin, päädyt kahteen eri vektoriin ”samansuuntaisesti” sen kanssa, jolla aloitit. Jos näin tapahtuu, niin määritelmällisesti tilasi on kaareva.
tiivistettynä tasoavaruuden ja kaarevan avaruuden ero voidaan esittää näin: tasoavaruudessa on mahdollista rakentaa koordinaatisto, jossa Christoffelin symbolit katoavat kaikkialle, eli jossa perusvektorit ovat samat jokaisessa pisteessä. Kaarevassa tilassa tämä on mahdotonta. Kaikkia Christoffel-symboleita ei voi saada katoamaan kaarevasta tilasta, yksinkertaisesti siksi, että jos voisi, se ei vain olisi kaareva. Se olisi litteä!
miten tämä kaikki liittyy fysiikkaan? No, voit ajatella painovoiman johtuvan aika-avaruuden kaarevuudesta, käyttäen kumilevyanalyysejä jne. Mutta minusta on hyödyllisempää ajatella, että gravitaatio johtuu yksinkertaisesti tästä tarpeesta korjata, miten taustalla oleva aika-avaruus pakottaa meidät käyttämään eri pohjavektoreita eri kohdissa. Suhteellisuusteoriassa ’perusteen muutoksen’ fysikaalinen vastine on liiketilan muutos. Aivan kuten pelkästään perusteiden muutoksista johtuvat termit eivät heijasta todellisia faktoja vektoreista – vain artefakteja siitä, miten valitsemme kuvata vektoreita – liiketilan muutoksista johtuvat termit eivät heijasta todellisia fysikaalisia faktoja.
tämä on Einsteinin Galilein vallankumouksellisen suhteellisuusteorian laajennuksen ydin – että fysiikan lait ovat mitä ne ovat, riippumatta siitä, mikä on liikkeesi tila. Kaikki, mikä riippuu liikkumistilastanne, ei ole fakta, vaan esine, ja se on hylättävä sellaisena. Tämä johti Einsteinin (ja muiden) ajatukseen, että maailmankaikkeuden todellisten lakien tulisi olla niitä, jotka pitävät paikkansa koordinaatistosta/liiketilasta riippumatta. Christoffelin symbolit voidaan nähdä termeinä yhtälöissä, jotka tekevät siitä niin, että ne pätevät kaikkiin liiketiloihin.
voimme siis tavallaan sanoa, että gravitaation olemassaolo sekä seuraa että antaa ymmärtää, että fysiikan lait ovat samat riippumatta siitä, miten liikut, siinä mielessä, että jos gravitaatio ei toimisi niin kuin se toimii, eri havainnoitsijat muotoilisivat eri lait riippuen nurkkakuntaisista näkökulmistaan (ja päinvastoin).