from Office of Academic Technologies on Vimeo.
esimerkki-koaksiaalikaapelin magneettikenttä
nyt lasketaan koaksiaalikaapelin magneettikentät eri alueilla.
koaksiaalikaapelin B-kenttä. Koaksiaalikaapeli koostuu kahdesta samankeskisestä lieriömäisestä alueesta, sisemmästä ytimestä, ulommasta lieriömäisestä kuoresta, jotain tällaista. Nämä johtavat lieriömäiset alueet erotetaan toisistaan eristävällä väliaineella, ja kun yksi näistä sylintereistä kuljettaa virran yhteen suuntaan, sitä kutsutaan virraksi, joka virtaa sisempää ydintä I sub a: na. ulompi lieriömäinen kuori kuljettaa virran I sub b: tä vastakkaiseen suuntaan.
jos annamme tälle kaapelille joitakin ulottuvuuksia, sanotaan, että tämä säde on a, ulomman lieriökuoren sisäsäde on b ja toisen lieriökuoren ulkosäde on c.
siksi virta kulkee näiden sylinterien läpi vastakkaisiin suuntiin, ja haluaisimme määrittää tällaisen kaapelin magneettikentän eri alueilla. Aloitetaan alueella siten, että meidän mielenkiintomme, etäisyys keskustaan, on pienempi kuin säde. toisin sanoen sisemmän sylinterin sisällä.
ja katsotaan tätä tapausta ylhäältä päin, joten tässä on, sanotaanko, sisempi sylinteri poikkileikkauksen näkökulmasta, ja ulompi sylinterinkuori, jotain tällaista, ja sisempi sylinteri kuljettaa virran I sub a ulos tasosta, ja ulompi sylinteri kuljettaa virran I sub b tasoon, kaikkialla näillä alueilla.
taas sisemmän sylinterin säde on a, ja tämä säde on b ja ulomman alueen säde on C.no, olemme tehneet hyvin samanlaisen esimerkin aiemmin. Ensimmäinen kiinnostavuusalueemme on, että pisteemme A on sisemmän sylinterin sisällä. Sanotaan, että jossain täällä, ja löytääksemme magneettikentän tässä paikassa, joka on pienen R-etäisyyden päässä keskipisteestä, asetamme empiirisen silmukan ympyrän muotoon, joka on sama kuin tuon pisteen kautta kulkeva magneettikenttäviiva, ja kutsukaamme tätä silmukkaa C1: ksi ensimmäiselle alueelle.
ja Imperiumin/s lain mukaan tämän silmukan, c1: n, päälle integroitu dl: n B on yhtä suuri kuin neu 0 kertaa nettovirta, joka kulkee tämän silmukan C1 ympärillä olevan alueen eli pinnan läpi.
kuten aiemmissa esimerkeissä, tällainen silmukka täyttää imperiumin lain soveltamisen edellytykset, ja magneettikenttä on tangentti kenttäviivan kanssa, ja tuo kenttäviiva yhtyy valitsemaamme silmukkaan ja dl on inkrementaalinen Siirtymä-elementti tässä silmukassa, joten B: n ja dl: n välinen kulma on aina 0 astetta tässä tapauksessa.
joten vasen puoli antaa meille B magnitudin, dl magnitudin kertaa kosinin 0, integroitu silmukan C1 päälle, on yhtä suuri kuin neu 0 kertaa I suljettu.
Kosiini 0 on 1 ja B on vakio tämän silmukan yllä, koska silmukka on yhtäpitävä kyseisen pisteen kautta kulkevan magneettikenttäviivan kanssa, ja niin kauan kuin olemme kyseisellä kenttäviivalla, näemme saman magneettikentän magnitudin. Siksi, koska magnitudi on vakio, voimme ottaa sen ulkopuolella integraali, siksi vasemmalla puolella päädymme B kertaa integraali dl yli silmukka c1 on yhtä suuri kuin neu 0 kertaa I suljettu.
integraali C1: stä, integraali dl: sta, silmukan C1 yli antaa meille silmukan pituuden, joka on ympyrän kehä, ja joka on yhtä suuri kuin 2pi kertaa ympyrän säde, mikä on vähän R kertaa B on yhtä suuri kuin neu 0 kertaa I suljettu.
I suljettu on tämän silmukan C ympäröimän alueen läpi kulkeva nettovirta, joten kyseessä on pinta. Silmukka c ympäröi tätä vihreää tummennettua aluetta, ja tiedämme, että koko sisäpinnan läpi virtaava virta on I sub a, joka periaatteessa kattaa koko tämän alueen täällä, ja saadaksemme nettovirran virtaamaan tämän vihreän tummennetun alueen läpi määrittelemme virran tiheyden, joka on virta yksikköä kohti poikkipinta-alasta, ja jos kerromme tuon virrantiheyden silmukan C ympäröimällä alueella, saamme virran määrän, joka kulkee tuon pinnan läpi.
näin ollen, jos siirrymme eteenpäin, meillä on B kertaa 2pir, tämä on vasen puoli, joka on yhtä suuri kuin neu0 kertaa I suljettu, missä tässä tapauksessa I suljettu on yhtä suuri kuin J kertaa kyseisen alueen pinta-ala, joka on PIR neliö, ja tässä virran tiheys on kokonaisvirta i jaettuna tämän langan kokonaispinta-alalla, ja se on pi kertaa neliö.
niin, b kertaa 2pir tulee olemaan neu0 kertaa, jossa olen suljettu meillä on I yli Pia square, ja tämä on nykyinen tiheys virtaa läpi sisempi sylinteri, ja minun pitäisi käyttää alaindeksi a täällä, koska olemme määritelleet määrän virtaa läpi sisempi sylinteri kuin I sub a. i sub a yli pia square tulee antaa meille nykyisen tiheyden, ja jos kerromme tämän virran pinta-alayksikköä kohti alueella, että olemme kiinnostuneita, joka on pir neliö, niin päädymme kokonaisvirta kulkee kyseisen pinnan läpi.
tässä tämä pi ja tuo pi kumoavat, ja voimme kumota yhden näistä r: n neliöistä r: n ollessa vasemmalla puolella, ja jos B jätetään yksin, päädymme sisemmän sylinterin sisällä olevaan magneettikenttään neu0 I: n sub a: na jaettuna 2pia: n neliökerralla R.
ja tämä on tietysti sama tulos kuin aiemmin tehty esimerkki, jolla saatiin sylinterimäistä johtoa kuljettavan virran magneettikenttäprofiili.
nyt tarkastellaan toisena alueena sen alueen magneettikenttää, jonka kiintopiste on kahden sylinterin välissä. Toisin sanoen r on pienempi kuin b ja suurempi kuin a-alue.
jos katsomme tuota aluetta, puhumme tästä osasta, ja tässä osassa sanotaan, että meidän kiinnostuspaikkamme sijaitsee nyt jossain täällä. Jälleen valitsemme suljetun silmukan. Tässä tapauksessa kutsutaan tätä C2: ksi, joka on sama kuin kiinnostavan pisteen p kautta kulkeva magneettikenttäviiva. nyt se sijaitsee tällä alueella.
ja kyseiselle alueelle tämä on uloin lieriömäinen kuorialueemme, joka kuljettaa virran I sub b tasoon. Nyt, tällä alueella, jälleen, kun valitsemme tämän silmukan, joka on yhtäpitävä kenttäviivan kanssa, joka kulkee tuon pisteen kautta, se täyttää edellytykset ampeerin lain soveltamiseksi, ja siksi ampeerin lain vasen puoli on sama kuin edellinen osa, ja sen tulee antaa meille B note dl integroituna nyt silmukan c2 yli, joka on yhtä suuri kuin neu0 I suljettu. Vasen puoli antaa meille taas b kertaa 2pir. Tietenkin etäisyys, pikku r, on etäisyys keskustasta tähän pisteeseen tällä alueella.
ja oikealla puolella, tässä tapauksessa, nyt tarkastelemme nettovirtaa, joka kulkee silmukan C2 ympärillä olevan alueen läpi, toisin sanoen silmukan c2 ympärillä olevaa aluetta, ja se on tämä keltainen varjostettu alue, ja kun katsomme tuota pintaa, näemme, että koko sisäsylinterin läpi virtaava virta kulkee tämän pinnan läpi, ja tietenkin kaikki tämän pinnan ulkopuolella oleva kiinnostaa, ja siksi tässä tapauksessa, I suljettu tulee olemaan yhtä kuin yksinkertaisesti sisäsylinterin läpi virtaava virta, joka on I sub a. Siksi oikealla puolella, meillä on neu0 kertaa I sub a, ja ratkaista magneettikentän meillä on neu0 I sub a yli 2pir tällä alueella.
näin siis on, että r on B: n ja a: n välissä ja edelliselle osalle laskimme alueen magneettikentän siten, että r on pienempi kuin a.
nyt mennään eteenpäin ja lasketaan magneettikenttä toisen lieriökuoren sisällä. Tässä tapauksessa puhutaan b: stä alueella, jossa r on C: n ja b: n välissä.
toisin sanoen nyt kiinnostaa tämän toisen lieriömäisen kuoren sisäosa. Oletetaan, että tässä tapauksessa mielenkiintomme kohde on jossain täällä.
nyt taas valitsemme empiirisen silmukkamme siten, että se yhtyy kyseisen pisteen kautta kulkevan kenttäviivan kanssa, joten se tulee jälleen olemaan ympyrän muodossa, ja sen säde, r, mitataan nyt keskipisteestä osoittaen tätä .
nyt kutsutaan tätä silmukkaa C3: ksi. Jälleen, vasemman puolen laskelmat ovat samanlaisia kuin edellisissä osissa. Tämä silmukka täyttää edellytykset ampeerin lain soveltamiseksi. Magneettikentän suuruus on vakio kaikkialla tämän silmukan varrella, ja B: n ja dl: n välinen kulma on 0.
niin, ampeerin laki, joka on B piste dl, integroitu silmukan C3 yli yhtä suuri kuin neu0 I suljettu, tulee lopulta antamaan meille, sillä vasen puoli, sama kuin edellä, antaa meille D kertaa dpir, ja oikealla puolella meillä on neu0 kertaa I suljettu.
nyt puhutaan nettovirrasta, joka kulkee silmukan c3 ympäröimän alueen läpi. Jos katsomme tuota aluetta, näemme, että ensinnäkin, puhumme tästä alueesta, tästä sinisestä tummennetusta alueesta, tuolla alueella näemme, että koko sisäsylinteri, tai sisäsylinterin läpi virtaava virta kulkee tuon alueen läpi, ja toisen sylinterinkuoren kohdalla näemme, että vain tämä osa sylinteriä vaikuttaa magneettikenttään, koska virta, joka virtaa sen alueen läpi, joka on meidän puolemme tässä nimenomaisessa pinnassa, on kiinnostava.
koska I sub a virtaa tasosta ulos ja i sub b tasoon, nettovirta tulee käytännössä olemaan näiden kahden virran erotus. Joten voimme ilmaista I suljettu kuin minä sub a, valitaan tämä suunta, tasomme suunta positiivisena, ja se liikkuu pois tasosta, joka on positiivinen, ja toinen on murto-osa virrasta, joka liikkuu tasoon, ja jotta voidaan ilmaista, että yksi meidän täytyy nyt ilmaista nykyinen tiheys liittyy ulomman kuoren, joka on kokonaisvirta virtaa tuon kuoren läpi, ja se on I sub b, jaettuna yhteensä poikkipinta-ala johtimen, puhumme ulomman kuoren, ja koko poikkipinta-ala, että ulomman lieriönkuoren on pinta-ala tämän suuren sylinteri miinus tämän pienen sylinterin pinta-ala.
eli toisin sanoen se on yhtä suuri kuin pic neliö miinus pib neliö, ja tämä osa, tämä lauseke, tulee olemaan yhtä suuri kuin ulomman sylinterin virrantiheys.
ja tämä tiheys kerrottuna kiinnostavalla alueella antaa meille kyseisen alueen läpi virtaavan nettovirran. Eli toisin sanoen, jos otamme tulon virrantiheydestä tämän sinisen tummennetun alueen kanssa, tummennetun alueen pinta-alan sanoisin, niin saamme nettovirran virtaamaan tuon pinnan läpi, ja se on periaatteessa pir potenssiin miinus pib potenssiin.
OK. Voimme yksinkertaistaa tätä lauseketta kirjoittamalla sen I suljettu on yhtä suuri kuin I sub a miinus I sub b yli pi suluissa C potenssiin miinus b potenssiin kertaa pi kertaa R potenssiin miinus b potenssiin.
tässä pis kumoaa, ja siksi I suljettu on yhtä suuri kuin tämä määrä. Sitten b kertaa 2pir on yhtä suuri kuin neu0 kertaa I suljettu ja että on I sub a miinus R neliö miinus b neliö, i sub b jaettuna C neliö miinus b neliö.
magneettikentän saamiseksi jätämme tämän suureen yksin yhtälön vasemmalle puolelle, joten B on yhtä suuri kuin neu0 yli 2pir kertaa I sub a miinus i sub B kertaa R neliö miinus b neliö, jaettuna C neliöllä miinus b neliö on sulkeesi.
joten ulomman lieriömäisen kuoren sisällä magneettikentän magnitudi tulee olemaan yhtä suuri kuin tämä Suure. Magneettikentän suunta eli nettosuunta riippuu tietysti näiden virtausten suuruudesta, ja tämä koskee aluetta, joka r on C: n ja b: n välissä.
viimeinen alue on tämän koaksiaalikaapelin ulkoalue. Palaamme kaavioon ja puhumme siitä, että kiinnostavuuspisteemme sijaitsee jossain täällä, ja taas, valitsemalla empiirisen silmukan, joka kulkee kiinnostavuuspisteen läpi ja osuu samaan aikaan sen pisteen, pisteen p, kautta kulkevan kenttäviivan kanssa, ja se on R etäisyys keskipisteestä.
ampeerin lain vasen puoli, kutsutaan tätä silmukkaa C4: ksi, ampeerin laki tässä tapauksessa on B note dl integroituna silmukan C4 päälle, jota kutsutaan neu0 kertaa suljettuna, ja vasen puoli taas on samanlainen kuin edelliset osat, jotka antavat meille B kertaa 2pir, ja se on yhtä kuin, I: n suljettuna nyt, katsomme kaaviotamme, puhumme nettovirrasta, joka kulkee nyt ympäröivän alueen läpi, tämän koko alueen ja sitä ympäröi silmukka C4, josta puhumme koko alueella, ja voimme helposti nähdä, että koko koaksiaalikaapelin läpi kulkeva virta kulkee tämän pisteen kautta, kulkee tämän pinnan läpi, ja se on I sub A on tulossa ulos tasosta ja I sub b on menossa tasoon.
tämän seurauksena empiirisen silmukan c4 ympäröimän alueen läpi kulkeva nettovirta on yhtä suuri kuin I sub a miinus i sub B, koska ne virtaavat vastakkaisiin suuntiin, joten oikealla puolella meillä on neu0 kertaa I sub a miinus i sub B, ja magneettikentän ratkaisussa päädymme neu0: n lopulliseen lausekkeeseen 2pir kertaa I sub a miinus i sub B.
ja tämä on tämän koaksiaalikaapelin ulkopuolella syntyvä magneettikenttä. Eli alueelle, jonka r on suurempi kuin c.
OK. No, Jos I sub A on yhtä suuri kuin I sub b, Jos nämä kaksi virtaa, että ne ovat yhtä suuria, koska ne virtaavat vastakkaisiin suuntiin, niin I suljettu tulee olemaan yhtä suuri kuin 0. Se tarkoittaa, että koaksiaalikaapelin ulkopuolella oleva magneettikenttä on 0, kun R on suurempi kuin C-alue.