notaatio: ideaalimaailmassa käyttäisin α, β, γ vastaavasti lineaarisen, pinta-alan ja tilavuuden laajenemisen kertoimille. Valitettavasti tarvitsemme γ lämpökapasiteettien suhteen. Monet ihmiset käyttävät β volyymin laajentamiseen, joten seuraan sitä. Mitä sitten käyttää alueen laajentamiseen? Käytän b: tä, joten meillä on nyt α, b, β, joka on hyvin kömpelö. Tarvitsemme kuitenkin harvoin b: tä, joten ehkä selviämme.
lineaarinen laajenemiskerroin: α
pinta-alan laajenemiskerroin: b
tilavuuden laajenemiskerroin: β
pienillä lämpötila-alueilla pituuden, pinta-alan ja tilavuuden kasvua lämpötiloineen voidaan kuvata
\ \]
\ \]
ja
\ \]
anisotrooppisilla kiteillä kerroin voi olla erilainen eri suuntiin, mutta isotrooppisille aineille voimme kirjoittaa
\^{2}=A_{1}\left \]
\^{3}=V_{1}\left\]
näin ollen pienille laajennuksille \ (\hat{b} \approx 2 \tilde{\alpha}\) ja \( \widehat{\beta} \approx 3 \hat{\alpha}\).
yhtälöt 13.1.1, 2 ja 3 määrittele likimääräiset kertoimet äärellisellä lämpötila-alueella. Kertoimet tietyssä lämpötilassa määritellään derivaatoissa, ts.
\
\
\
suhteet b = 2α ja β = 3α ovat tarkat.
määrittelemme ”vakiopaineessa”, koska emme selvästikään halua määritelmässämme estää materiaalin laajenemista lisäämällä siihen kohdistuvaa painetta lämmitettäessä sitä.
kiinteille aineille lineaarinen laajenemiskerroin on yleensä sopiva parametri; nesteille ja kaasuille tilavuuskerroin on yleensä sopiva. Useimmille tutuille tavallisille metalleille lineaarisen laajenemisen kerroin on luokkaa 10-5 K−1. Kellorakentamisessa käytetyillä seoksilla, kuten nikkeliterässeoksella ”invar”, saattaa olla paljon pienempiä kertoimia. Tavallisen lasin kerroin on vain hieman pienempi kuin metallien; pyrexillä ja sulatetulla kvartsilla on paljon pienempi laajennus – siksi niitä käytetään kaukoputken peileissä. Nesteille ja kaasuille ilmoitetaan yleensä tilavuuskerroin. Elohopean tilavuuskerroin on noin 0,00018 K-1. Vesi supistuu 0-4 oC: n välillä ja laajenee tuon lämpötilan yläpuolelle. Ilman tilavuuskerroin 0 oC: ssa on 0,0037 K−1.
huoneenlämmössä ja sitä korkeammissa lämpötiloissa metallien lineaarinen laajenemiskerroin ei vaihtele valtavasti lämpötilan mukaan, mutta matalissa lämpötiloissa laajenemiskerroin vaihtelee paljon nopeammin lämpötilan mukaan – samoin ominaislämpökapasiteetti (KS.kohta 8.10). Tietyn metallin laajenemiskertoimen vaihtelu ja ominaislämpökapasiteetti vaihtelevat lämpötilan mukaan melko samalla tavalla, joten tietyn metallin suhde α/CP on vakio suurella lämpötila-alueella.
harjoitus: neliömäisen metallilevyn keskellä on pyöreä reikä, jonka pinta-ala on 300 cm2. Jos lineaarisen laajenemisen kerroin on 2 × 10-5 Cº−1, lasketaan reiän pinta-ala, kun levyn lämpötila nostetaan 100 asteen läpi.
harjoitus: Näytä, että ideaalikaasun tilavuuskerroin on 1/T. Vertaa tätä edellä annettuun ilman numeeriseen arvoon.
vaikka klassinen termodynamiikka ei käsittele yksityiskohtaisia mikroskooppisia prosesseja, on kiinnostavaa kysyä, miksi kiinteä aine laajenee kuumennettaessa. Kuvitelkaamme kiteistä kiinteä koostuu atomien liitetty toisiinsa pikku jouset, ja jokainen jousi on säännelty Hooke n laki, ja näin ollen jokainen atomi on tärisevä, parabolinen potentiaali hyvin ja liikkuu yksinkertainen harmoninen liikettä. Jos nostamme lämpötilaa, nostamme värähtelyjen amplitudia, mutta emme muuta atomien keskipaikkoja. Näin ollen tällaisessa mallissa emme odottaisi lämpenemisen yhteydessä minkäänlaista laajenemista. Todellinen potentiaali ei kuitenkaan ole parabolinen, vaan muotoutuu, ainakin laadullisesti, jotain luvun 6 kohdassa 6.8 mainittujen Lennard-Jonesin tai Morsen potentiaalien kaltaiseksi. Jos materiaalia lämmitetään, värähtelyjen amplitudi kasvaa, ja koska potentiaalissa on korkeamman kertaluvun termejä, jotka antavat potentiaalille sen asymmetrisen anharmonisen muodon, atomien keskimääräinen ero todellakin kasvaa, ja näin tapahtuu laajeneminen. Näin kiinteän aineen laajeneminen kuumennettaessa on seurausta atomivärähtelyjen anharmonisuudesta ja niiden liikeradan potentiaalin epäsymmetriasta.
\
\
Yhteenveto
yleisesti, jos Pituus T1: ssä on l1, pituus l2 T2: ssa annetaan
\
jos dl / dT on vakio, niin että \(\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1 + \alpha_{0} T}\), tästä tulee
\
jos α on vakio, niin siitä tulee
\
näin ollen ensimmäiseen pienten määrien järjestykseen kaikki α-muunnokset ovat samanarvoisia.
laajenemiskerroin Tensorisuureena. Luvussa 4 mainitsin lyhyesti, että anistrooppisen Kiteen tapauksessa lämpöjohtumiskerroin on tensorisuure. Sama pätee anisotrooppiselle Kiteelle laajenemiskertoimeen. Jos sinua siis pyydettiin fysiikan kokeen aikana antamaan esimerkkejä tensorimääristä, voisit antaa ne esimerkkeinä – tosin pieni riski saattaisi liittyä siihen, jos opettajasi ei olisi ajatellut niitä tensoreina! Anisotrooppisen Kiteen laajenemiskerroin voi vaihdella eri suuntiin. (Islannissa Spar-kalsiumkarbonaatti-yhteen suuntaan kerroin on itse asiassa negatiivinen.) Jos leikataan kuution muotoinen anisotrooppinen kide, jonka reunat eivät ole yhdensuuntaiset kristallografisen akselin kanssa, kuumentuessaan näyte ei ainoastaan laajene tilavuudeltaan, vaan muuttuu muodoltaan ei-suorakulmaiseksi suunnikkaaksi. Kide on kuitenkin mahdollista leikata kuution muotoon siten, että kuumennettaessa näyte laajenee suorakulmaiseksi suunnikkaaksi. The reunat kuution (ja tuloksena parallelepiped) ovat sitten yhdensuuntaisia tärkeimmät akselit laajentumista, ja kertoimet näissä suunnissa ovat tärkeimmät kertoimet laajentumista. Nämä suunnat ovat yhdensuuntaisia kristallografisten akselien kanssa, jos Kiteellä on yksi useammista symmetria-akseleista (mutta ilmeisesti ei muuten)