Wat is een Christoffel-symbool?

hier is de beste manier om te denken van de Christoffel symbolen, althans voor een beginner.

stel dat u wilt weten of / hoe een vector verandert van het ene punt naar het andere in uw onderliggende variëteit, dat wil zeggen de ruimtetijd. Met andere woorden, u wilt uw vectorveld differentiëren. Er zijn twee redenen waarom u een verandering in het vectorveld zou kunnen registreren in uw berekeningen:

1. de vector zelf kan op het ene punt eigenlijk anders zijn dan op het andere of
2. de vector kan worden beschreven met behulp van verschillende basisvectoren op de twee punten. (Als je een basis verandert, zullen de componenten van de dingen die je beschrijft veranderen.)

elke verandering die u detecteert in de waarde van de vector van het ene punt naar het andere kan afkomstig zijn van een van beide of van beide bronnen.

het belangrijke punt is dat bij het beoordelen of een vector (veld) is veranderd als je van het ene punt naar het andere gaat in de ruimtetijd, je iets nodig hebt in je wiskunde om te verklaren dat je basis (dat wil zeggen je coördinatenstelsel) is veranderd langs de weg, naast eventuele veranderingen die kunnen zijn opgetreden in de werkelijke vector zelf.

de gewone partiële afgeleide doet dit niet. Het gaat ervan uit dat de basis niet verandert. In het meest algemene geval zullen echter de basisvectoren veranderen. Om dit te verklaren, vervangen we de gewone partiële afgeleide door wat de covariante afgeleide wordt genoemd. Het deel van de covariante afgeleide dat de veranderingen die voortvloeien uit verandering van de basis bijhoudt is de Christoffel symbolen. Ze coderen hoeveel de basisvectoren veranderen als we in de richting van de basisvectoren zelf bewegen.

Hoe is dit nuttig in de Algemene Relativiteitstheorie? Omdat GR zwaartekracht modelleert als de kromming van de ruimtetijd-variëteit, en informatie over deze kromming is gecodeerd in de Christoffelsymbolen.

maar als de Christoffelsymbolen basisafhankelijk zijn (en we hebben net gezegd dat ze-verschillende coördinatenstelsels/basisvectoren geven je verschillende waarden voor de Christoffelsymbolen), hoe kunnen ze dan informatie geven over de kromming van de onderliggende variëteit, die onafhankelijk zou moeten zijn van het coördinatenstelsel?

de Christoffelsymbolen geven de kromming niet direct. Uit wat we tot nu toe hebben gezegd, is het duidelijk dat om de Christoffelsymbolen identiek nul te laten zijn, de basisvectoren niet mogen veranderen als we van punt naar punt gaan. Dit betekent dat we geen valse veranderingen in onze vectorvelden zullen introduceren door geen rekening te houden met verandering van basis.

twee dingen die belangrijk zijn om te herkennen:

1. niet-nul Christoffelsymbolen betekenen niet dat de variëteit kromming heeft. Het betekent alleen dat je een basisvectorveld gebruikt dat de lengte en/of richting van punt naar punt verandert. Een algemeen voorbeeld zijn de poolcoördinaten op het vlak. Deze basisvectoren veranderen van punt naar punt, bijvoorbeeld de basisvector in de theta richting wordt langer hoe verder je van de oorsprong in de radiale richting komt. Dit betekent dat u op zijn minst een aantal niet-nul Christoffel symbolen. Maar de ruimte is duidelijk niet gebogen.

   1. verdwijnende Christoffelsymbolen betekenen niet dat de ruimte geen kromming heeft. Het zou kunnen betekenen dat je reist langs een traject dat bekend staat als een geodetisch. (Dit is de generalisatie van rechte lijnen door gewone vlakke ruimte ‘de kortste afstand tussen twee punten.’) De fysieke tegenhanger hiervan is vrije val.

aangezien de Christoffelsymbolen ons een covariante afgeleide (d.w.z. een afgeleide die rekening houdt met hoe de basisvectoren veranderen), het stelt ons in staat om ‘parallel transport’ van een vector te definiëren. Het Christoffelsymbool vertelt ons wat het betekent om te zeggen dat een vector van het ene punt naar het andere wordt verschoven op een manier die ‘parallel aan zichzelf’blijft. ‘Parallel aan zichzelf ‘betekent gewoon’covariante afgeleide verdwijnt’.

de definitie van kromming (minstens één ervan) hangt af van dit parallelle transportproces, dat mogelijk wordt gemaakt door de covariante afgeleide, die op zijn beurt mogelijk wordt gemaakt door de Christoffelsymbolen.

het basisidee is dat als we parallel een vector over een lus transporteren (dat wil zeggen terugkomen naar ons beginpunt), we niet noodzakelijkerwijs dezelfde vector hebben als waarmee we begonnen. Dit is waar ook al hebben we de vector op een ‘zelf parallel’ manier getransporteerd. Het cruciale feit voor kromming is niet alleen dat we eindigen met een andere vector dan we begonnen met (dat kan gebeuren in het geval van nul kromming) maar dat precies welke vector we eindigen met hangt af van het pad dat we hebben genomen. Dus als je een vector ‘parallel aan zichzelf’ transporteert langs paden A en b, eindig je met twee verschillende vectoren ‘parallel’ aan degene waarmee je begon. Als dat gebeurt, dan is je ruimte per definitie gebogen.

samengevat kan het verschil tussen een vlakke ruimte en een gebogen ruimte als volgt worden gesteld: in een vlakke ruimte is het mogelijk om een coördinatenstelsel te bouwen waar de Christoffelsymbolen overal verdwijnen, dat wil zeggen waar de basisvectoren op elk punt hetzelfde zijn. In een gebogen ruimte is dit onmogelijk. Je kunt niet alle Christoffelsymbolen laten verdwijnen in een gekromde ruimte, simpelweg omdat als je dat kon, het gewoon niet gekromd zou zijn. Het zou plat zijn!

wat heeft dit allemaal met natuurkunde te maken? Nou, je kunt denken aan de zwaartekracht als gevolg van de kromming van de ruimtetijd, met behulp van rubber vel analogieën, enz. Maar ik vind het nuttiger om te denken dat zwaartekracht simpelweg voortkomt uit deze noodzaak om te corrigeren voor hoe de onderliggende ruimtetijd ons dwingt om verschillende basisvectoren op verschillende punten te gebruiken. In de relativiteitstheorie is de fysische tegenhanger van ‘verandering van basis’ de verandering van de bewegingstoestand. Net zoals termen die uitsluitend voortkomen uit veranderingen van basis geen feitelijke feiten over vectoren weergeven – alleen artefacten van hoe we vectoren willen beschrijven – weerspiegelen termen die voortkomen uit veranderingen in de staat van beweging geen echte fysieke feiten. Dit is de kern van Einsteins uitbreiding van Galileo ‘ s revolutionaire idee van relativiteit – dat de wetten van de fysica zijn wat ze zijn, ongeacht je staat van beweging. Alles wat afhangt van je staat van beweging is geen feit maar een artefact en moet als zodanig worden afgewezen. Dit leidde Einstein (en anderen) tot het idee dat de ware wetten van het universum die zouden moeten zijn die waar zijn ongeacht het coördinatenstelsel/de staat van beweging. De Christoffelsymbolen kunnen worden gezien als termen in de vergelijkingen die het zo maken dat ze gelden voor alle toestanden van beweging.

dus in zekere zin kunnen we zeggen dat het bestaan van zwaartekracht zowel volgt uit als impliceert dat de wetten van de fysica hetzelfde zijn, ongeacht hoe je beweegt, in de zin dat als de zwaartekracht niet zo werkte, verschillende waarnemers verschillende wetten zouden formuleren afhankelijk van hun parochiale perspectieven (en vice versa).