als #S # een verzameling objecten is met een binaire bewerking #@# (bijvoorbeeld optellen of vermenigvuldigen), dan wordt gezegd dat het gesloten is onder #@# Dan en alleen dan als #A@b in S# voor alle #a, b in S#.
dat wil zeggen, gegeven twee elementen #a # en # b # van #S#, geeft de uitdrukking # a@b# je een ander element van #S#.
bijvoorbeeld de verzameling even gehele getallen #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… }# is gesloten onder zowel optellen als vermenigvuldigen, want als je twee even gehele getallen optelt of vermenigvuldigt dan krijg je een even geheel getal.
bij wijze van contrast is de verzameling oneven gehele getallen gesloten onder vermenigvuldiging, maar niet gesloten onder optelling.
dit wordt veel interessanter als we ook afsluiting onder identiteit en inverse nodig hebben.
bijvoorbeeld, de rationale getallen # QQ# hebben de eigenschappen:
-
gesloten onder optellen #+# en vermenigvuldigen #*#
-
bevat een identiteit #0# voor optellen en # 1 # voor vermenigvuldiging.
-
bevatten additieve inverses voor elk element.
-
bevatten multiplicatieve inversies voor elk niet-nulelement.
-
diverse andere eigenschappen die neer op optellen en vermenigvuldigen werken als normaal (commutativiteit, associativiteit, distributie, enz.).
van de rationele getallen wordt gezegd dat ze een veld vormen.
Wat gebeurt er als we #sqrt(2)# toevoegen aan de verzameling van rationale getallen?
het wordt niet meer gesloten onder optellen of vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld:
-
als je een rationeel getal toevoegt aan #sqrt (2)# dan krijg je een ander irrationeel getal.
-
als je een irrationeel getal (behalve #0# of #1#) vermenigvuldigt met #sqrt(2)# dan krijg je een ander irrrationeel getal.
om het weer gesloten te maken, moeten we alle nummers van het formulier opnemen:
#a+bsqrt(2)#
waar #a, b in QQ#
dan vinden we:
#(a+bsqrt(2)) + (c+dsqrt(2)) = (a+c)+(b+d)sqrt(2)#
#(a+bsqrt(2)) * (c+dsqrt(2)) = (ac+bd) + (ad+bc)sqrt(2)#
#(a+bsqrt(2))+((-a)+(-b)sqrt(2)) = 0#
#(a+bsqrt(2)) * ((a/(a^2-2b^2)) – (b/(a^2-2b^2))sqrt(2)) = 1#
Het lastige is de laatste, die in principe vertelt ons dat de getallen van de vorm #a+bsqrt(2)# zijn gesloten onder de multiplicatieve inverse. Je zou kunnen zeggen dat niet-nulnummers van de vorm #a+bsqrt(2)# gesloten zijn onder deling.