van Office of Academic Technologies on Vimeo.
voorbeeld-magnetisch veld van een coaxiale kabel
laten we nu de magnetische velden van een coaxiale kabel in verschillende gebieden berekenen.
B-veld van een coaxiale kabel. Een coaxiale kabel bestaat uit twee concentrische cilindrische gebieden, een binnenste kern, een buitenste Cilindrische schaal, zoiets als dit. Deze geleidende cilindrische gebieden worden gescheiden door een isolerend medium van elkaar, en als een van deze cilinders de stroom in een richting, dat heet de stroom die de binnenste kern als i sub a. de buitenste Cilindrische schaal draagt de stroom i sub b in tegenovergestelde richting.
als we een aantal afmetingen aan deze kabel geven, laten we zeggen dat deze straal a is, de binnenste straal van de buitenste Cilindrische schaal is b, en de buitenste straal van de andere Cilindrische schaal is c.
daarom stroomt de stroom door deze cilinders in tegengestelde richtingen, en we willen graag het magnetische veld van een dergelijke kabel in verschillende gebieden bepalen. Laten we beginnen met de regio zodanig dat ons punt van belang, de afstand tot het centrum, kleiner is dan de straal A. met andere woorden, de binnenkant van de binnenste cilinder.
en laten we eens kijken naar dit geval van bovenaanzicht en dus hier hebben we, laten we zeggen, de binnencilinder vanuit het oogpunt van de dwarsdoorsnede, en de buitencilindrische schaal, zoiets als dit, en de binnencilinder draagt de stroom i sub A uit het vlak, en de buitencilinder draagt de stroom i sub b in het vlak, overal in deze gebieden.
nogmaals, de straal van de binnencilinder is a, en deze straal is b en de straal van het buitenste gebied is c. Ons eerste gebied van belang is dat ons punt van punt a zich binnen in de binnenste cilinder bevindt. Laten we zeggen ergens hier, en om het magnetisch veld op deze locatie te vinden, wat weinig r afstand van het centrum is, plaatsen we een empirische lus in de vorm van een cirkel die samenvalt met de magnetische veldlijn die door dat punt gaat, en laten we deze lus c1 noemen voor het eerste gebied.
en de empire / s wet zegt dat b van dl geïntegreerd over deze lus, c1, gelijk zal zijn aan neu 0 keer de netto stroom die door het gebied, of het oppervlak, omgeven door deze lus c1.
zoals we in de eerdere voorbeelden deden, zal zo ‘ n lus voldoen aan de voorwaarden om de wet van empire toe te passen, en het magnetisch veld zal raaklijn zijn aan de veldlijn, en die veldlijn valt samen met de lus die we kiezen en dl is een incrementeel verplaatsingselement langs deze lus, daarom zal de hoek tussen b en dl altijd 0 graden zijn voor dit geval.
dus, de linkerkant zal ons b magnitude geven, dl magnitude keer cosin van 0, geïntegreerd over lus c1, zal gelijk zijn aan neu 0 keer I ingesloten.
Cosin van 0 is 1 en b is constant over deze lus omdat de lus samenvalt met de magnetische veldlijn die door dat punt loopt, en zolang we op die veldlijn zijn zullen we dezelfde magnitude van het magnetische veld zien. Daarom, omdat de magnitude constant is, kunnen we het buiten de integraal nemen, daarom is de linkerkant die we eindigen met B keer integraal van dl over lus c1 gelijk aan neu 0 keer I ingesloten.
integraal van C1, integraal van dl, over lus c1 geeft ons de lengte van die lus, dat is de omtrek van die cirkel, en dat zal gelijk zijn aan 2pi maal de straal van die cirkel, dat is weinig r maal b zal gelijk zijn aan neu 0 maal I ingesloten.
I ingesloten is de nettostroom die door het gebied rond deze lus c gaat, dus dat is het oppervlak. De lus c omringt dit groen gearceerde gebied, en we weten dat door het hele binnenoppervlak, de stroomstroming i sub a is, die in principe dit hele gebied hier bedekt, en om de netto stroom te krijgen die door dit groen gearceerde gebied stroomt, zullen we de stroomdichtheid definiëren, die stroom per eenheid doorsnede gebied is, en als we die stroomdichtheid vermenigvuldigen met het gebied omringd door de lus c, krijgen we de hoeveelheid stroom die door dat oppervlak gaat.
daarom, als we verder gaan, zullen we b keer 2pir hebben, dit is de linkerkant, die gelijk is aan neu0 keer I ingesloten, waar in dit geval I ingesloten gelijk is aan J keer de oppervlakte van dat gebied, dat PIR kwadraat is, en hier is de stroomdichtheid de totale stroom i gedeeld door de totale oppervlakte van de dwarsdoorsnede van deze draad, en dat is pi keer een vierkant.
dus, B keer 2pir wordt neu0 keer, waar ik ingesloten we hebben i over pia vierkant, en dit is de stroomdichtheid voor de stroom die door de binnencilinder stroomt, en ik zou subscript a Hier moeten gebruiken omdat we de hoeveelheid stroom die door de binnencilinder stroomt hebben gedefinieerd als i sub a. I sub a Over pia vierkant geeft ons de stroomdichtheid, en als we deze stroom per oppervlakte-eenheid vermenigvuldigen met de oppervlakte van het gebied dat we geïnteresseerd zijn, dat is PIR kwadraat, dan eindigen we met het totaal stroom die door dat oppervlak gaat.
hier, deze pi en die pi zullen annuleren, en we kunnen een van deze r-vierkanten annuleren met de R aan de linkerkant, en als we b alleen laten, zullen we eindigen met een magnetisch veld binnen in de binnenste cilinder als neu0 i sub a gedeeld door 2pia kwadraat keer r.
en, natuurlijk, dit is identiek resultaat met het voorbeeld dat we eerder deden om het magnetisch veldprofiel te krijgen van een stroom die cilindrische draad draagt.
nu, als een tweede gebied laten we eens kijken naar het magnetisch veld voor het gebied dat ons punt van belang is tussen de twee cilinders. Met andere woorden, r is kleiner dan b en groter dan een gebied.
als we naar die regio kijken hebben we het over dit deel, en in dit deel laten we zeggen dat onze bezienswaardigheid zich nu ergens hier bevindt. Nogmaals, we kiezen voor een gesloten lus. In dit geval noemen we deze als c2, die samenvalt met de magnetische veldlijn die door het punt van belang p. nu is het gelegen in dit gebied.
en voor dat gebied is dit ons buitenste cilindrische omhulselgebied dat de stroom i sub b in het vlak draagt. Nu, voor dit gebied, opnieuw, wanneer we deze lus kiezen die samenvalt met de veldlijn die door dat punt gaat, zal het voldoen aan de voorwaarden om de wet van de ampère toe te passen, en daarom zal de linkerkant van de wet van de ampère identiek zijn aan het vorige deel, en het geeft ons b noot dl geïntegreerd over nu lus c2, wat gelijk is aan neu0 I ingesloten. De linkerkant geeft ons weer b keer 2pir. Natuurlijk, nu, de afstand, Kleine r, is de afstand van het centrum tot dit punt voor deze regio.
en de rechterkant, voor dit geval, gaan we nu kijken naar de netto stroom die door het gebied omringd door lus c2, met andere woorden, het gebied omgeven door lus c2, en dat is dit geel gearceerde gebied, en als we kijken naar dat oppervlak zien we dat de hele stroom die door de binnencilinder stroomt door dit oppervlak gaat, en natuurlijk is alles buiten dit oppervlak van belang, en daarom, in dit geval, zal ik ingesloten gelijk zijn aan gewoon de stroom die door de binnencilinder stroomt, dat is i sub a. Daarom hebben we aan de rechterkant neu0 keer i sub a, en voor het oplossen van het magnetisch veld hebben we neu0 i sub a gedeeld door 2pir voor dit gebied.
dus, dit is het geval, dat r tussen b en a ligt en voor het vorige deel hebben we het magnetische veld voor het gebied zodanig berekend dat r kleiner is dan a.
laten we nu vooruit gaan en laten we het magnetische veld in de andere Cilindrische schaal berekenen. In dit geval hebben we het over b in het gebied waar r tussen c en b staat.
met andere woorden, nu zijn we geïnteresseerd in de binnenkant van deze andere Cilindrische schaal. Laten we aannemen dat in dit geval ons punt van belang ergens hier is.
nu kiezen we onze empirische lus zodanig dat deze samenvalt met de veldlijn die door dat punt loopt, dus zal deze weer in de vorm van een cirkel zijn, en zijn straal, r, wordt nu gemeten vanuit het centrum en wijst dit aan .
laten we deze lus nu c3 noemen. Nogmaals, de berekeningen aan de linkerkant zullen vergelijkbaar zijn met de vorige delen. Deze lus zal voldoen aan de voorwaarden om de wet van Ampere toe te passen. De magnitude van het magnetisch veld zal overal langs deze lus constant zijn, en de hoek tussen b en dl zal 0 zijn.
dus, Ampere ‘ s wet, die is B dot dl, geïntegreerd over lus c3 gelijk aan neu0 I ingesloten zal uiteindelijk geven ons, voor de linkerkant, hetzelfde als hierboven, zal geven ons d keer dpir, en aan de rechterkant zullen we hebben neu0 keer I ingesloten.
hier hebben we het over de netstroom die door het gebied gaat dat wordt omgeven door lus c3. Als we naar dat gebied kijken zullen we zien dat, ten eerste, we praten over dit gebied nu hier, Dit blauw gearceerde gebied, in dat gebied zien we dat de hele binnenste cilinder, of de stroom die door de binnenste cilinder stroomt, door dat gebied gaat, en voor de andere Cilindrische schaal zien we dat alleen dit deel van de cilinder zal bijdragen aan het magnetisch veld, omdat de stroom die door het gebied dat onze kant van dit specifieke oppervlak is van belang is.
omdat i sub a uit het vlak stroomt en i sub b in het vlak stroomt, zal de nettostroom in principe het verschil zijn tussen deze twee stromen. Zo kunnen we uitdrukken ik bijgevoegd als ik sub a, laten we kiezen voor deze richting, ons vliegtuig richting als positief, en dat is het verplaatsen van het vliegtuig, dat is positief, en de andere is de fractie van de stroom die in beweging is in het vliegtuig en om uit te drukken dat we moeten nu express de huidige dichtheid geassocieerd met de buitenste schil, die totale stroom die door die shell, en dat is dat ik sub b, gedeeld door de totale doorsnede van de geleider, we hebben het over de buitenste schil, en de totale doorsnede van die buitenste cilindrische shell is de oppervlakte van dit grote cilinder minus de oppervlakte van deze kleine cilinder.
dus, met andere woorden, dat zal gelijk zijn aan pic kwadraat min pib vierkant, en dat deel, deze uitdrukking, zal gelijk zijn aan de stroomdichtheid van de buitenste cilinder.
en deze dichtheid maal het gebied van belang geeft ons de nettostroom die door dat gebied stroomt. Dus, met andere woorden, als we het product van de stroomdichtheid nemen met deze blauwe schaduw regio, de oppervlakte van de schaduw regio zou ik zeggen, dan krijgen we de netto stroom die door dat oppervlak stroomt, en dat is eigenlijk pir kwadraat min pib kwadraat.
Oké. We kunnen deze uitdrukking vereenvoudigen door het te schrijven als I ingesloten is gelijk aan i sub a min i sub b gedeeld door pi haakjes c kwadraat min B kwadraat keer pi keer r kwadraat min B kwadraat.
hier zal de PI ‘ s annuleren, en daarom zal ik bijgevoegd gelijk zijn aan deze hoeveelheid. Dan zal b keer 2pir gelijk zijn aan neu0 keer ik ingesloten en dat is i sub a min R vierkant min B vierkant, i sub b gedeeld door C vierkant min B vierkant.
om het magnetisch veld te krijgen laten we die hoeveelheid alleen aan de linkerkant van de vergelijking, daarom zal b gelijk zijn aan neu0 gedeeld door 2pir keer i sub a min i sub b keer R vierkant min B vierkant, gedeeld door C vierkant min B vierkant is gelijk aan haakjes.
binnen in de buitenste Cilindrische schaal zal de magnitude van het magnetisch veld gelijk zijn aan deze hoeveelheid. Natuurlijk hangt de richting, de nettorichting van het magnetisch veld, of dit nu met de klok mee of tegen de klok in is, af van de grootte van deze stromen, en dit is voor het gebied dat r tussen c en b ligt.
het laatste gebied is het buitengebied van deze coaxkabel. Dus we gaan terug naar ons diagram, dan hebben we het over dat ons punt van belang zich ergens hier bevindt, en opnieuw, door een empirische lus te kiezen, die door het punt van belang gaat en samenvalt met de veldlijn die door dat punt gaat, punt p, en dat is r afstand van het centrum.
De linkerkant van de Ampere ’s wet, noemen we deze loop als c4, de Ampere’ s wet voor dit geval zal de b opmerking dl geïntegreerd over de loop c4, die zal worden genoemd neu0 keer ik ingesloten, en de linkerkant, weer, zijn vergelijkbaar met de vorige delen, dat geeft ons b keer 2pir, en dat zal gelijk zijn aan, voor de i ingesloten nu gaan we kijken onze diagram, we praten over de netto stroom die door het gebied omgeven door nu deze hele regio, en het is omgeven door loop c4, waarin we praten over dit hele regio, en kunnen we gemakkelijk zien dat het hele stroom die door de coaxkabel gaat, gaat door dit punt, door dit oppervlak, en dat is dat ik sub a uit het vlak komt en i sub b het vlak in gaat.
als gevolg hiervan zal de nettostroom die door het gebied gaat omgeven door empirische lus c4 gelijk zijn aan i sub a min i sub b omdat ze in tegengestelde richtingen stromen, dus aan de rechterkant zullen we neu0 keer i sub a min i sub b hebben, en oplossend voor magnetisch veld zullen we eindigen met de uiteindelijke uitdrukking van neu0 2pir keer i sub a min i sub b.
en dit is het magnetische veld dat buiten deze coaxkabel wordt gegenereerd. Dat is voor het gebied dat r groter is dan c.
Oké. Nou, als ik sub A gelijk is aan i sub b, als deze twee stromen, dat ze gelijk zijn in grootte omdat ze in tegengestelde richtingen stromen, dan zal ik ingesloten gelijk zijn aan 0. Het betekent dat het magnetisch veld buiten de coaxkabel 0 is voor r groter dan c-gebied.