Abstract
Clebsch-Gordan-coëfficiënten waarbij de drie hoekmomenten j 1, j 2 en j = j 3 opnieuw worden gerangschikt, kunnen eenvoudig met elkaar worden gerelateerd. Het meest triviale geval betreft de uitwisseling van de Orde van de kwantumgetallen, j 1 m 1 en j 2 m 2. De toestandsvector ❘ j 1, j 2 j 2 m 2〉 is een direct product van twee vectoren die afzonderlijke subruimtes van de volledige Hilbertruimte omvatten, of in termen van de coördinaatrepresentatie, is de golffunctie een product van functies die verschillende variabelen omvatten. Bijvoorbeeld, kan een functie van orbitale variabelen en kan een functie van spin variabelen. Het product van deze twee functies moet dus niet afhangen van de volgorde waarin we de twee functies schrijven. Daarom, wanneer we deze productfunctie uitbreiden in terras van de Total angular momentum eigenfuncties, moet het resultaat onafhankelijk zijn van de volgorde waarin we de oorspronkelijke productfunctie schrijven , of , met de mogelijke uitzondering van een over-all fasefactor. Deze fasefactor komt in omdat onze faseconventie die het totale teken van de Clebsch—Gordan coëfficiënten vastlegt, de voorkeur geeft aan het hoekmomenta zittend in de nummer 1 en nummer 3 posities van de Clebsch—Gordan coëfficiënt. Dus, 〈j 1 j 1 j 2 m 2❘j 3 j 3〉 moet positief zijn door onze faseconventie. Op dezelfde manier moet 〈j 2 j 2 j 1 m 1❘j 3 j 3〉 ook positief zijn. Integendeel, de Clebsch—Gordan coëfficiënt 〈j 1 m 1 j 2 j 2❘j 3 j 3〉 heeft het teken met m 1 = j 3-j 2 Dus is het teken.