een gesloten oppervlak is een compact oppervlak zonder begrenzing. Voorbeelden zijn ruimtes zoals de bol, de torus en de Klein-fles. Voorbeelden van niet-gesloten oppervlakken zijn: een open schijf, een bol met een punctie; een cilinder, een bol met twee puncties; en de möbiusstrook. Zoals met elke gesloten variëteit is een in de Euclidische ruimte ingebed oppervlak dat gesloten is met betrekking tot de geërfde Euclidische topologie niet noodzakelijk een gesloten oppervlak; bijvoorbeeld, een schijf ingebed in R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}
die de grens bevat is een topologisch gesloten oppervlak, maar geen gesloten oppervlak.
classificatie van gesloten oppervlaktedit
de classificatiestelling van gesloten oppervlakken stelt dat elk verbonden gesloten oppervlak homeomorf is met een lid van een van deze drie families:
- de bol,
- de verbonden som van G tori voor g ≥ 1,
- de verbonden som van reële projectieve K-vlakken voor k ≥ 1.
de oppervlakken in de eerste twee families zijn oriënteerbaar. Het is handig om de twee families te combineren door de bol te beschouwen als de verbonden som van 0 tori. Het getal g van de betrokken tori wordt het geslacht van het oppervlak genoemd. De bol en de torus hebben respectievelijk Euler-kenmerken 2 en 0, en in het algemeen is de Euler-eigenschap van de verbonden som van G tori 2-2g.
de oppervlakken in de derde familie zijn niet oriënteerbaar. De Euler-karakteristiek van het reële projectieve vlak is 1, en in het algemeen is de Euler − karakteristiek van de verbonden som van k van hen 2-k.
Hieruit volgt dat een gesloten oppervlak, tot aan homeomorfisme, wordt bepaald door twee stukjes informatie: de Euler-karakteristiek, en of het al dan niet oriënteerbaar is. Met andere woorden, Euler-karakteristiek en oriënteerbaarheid classificeren gesloten oppervlakken volledig tot aan homeomorfisme.
gesloten oppervlakken met meerdere onderling verbonden onderdelen worden ingedeeld naar de klasse van elk van hun onderling verbonden onderdelen, en men gaat er dus in het algemeen van uit dat het oppervlak met elkaar verbonden is.
Monoïdestructuuredit
door deze classificatie te relateren aan verbonden sommen, vormen de gesloten oppervlakken tot aan homeomorfisme een commutatieve monoïde onder de werking van verbonden Som, net als variëteiten van elke vaste dimensie. De identiteit is de bol, terwijl het reële projectieve vlak en de torus deze monoïde genereren, met een enkele relatie P # P # P = P # T, die ook geschreven kan worden P # K = P # T, aangezien K = P # P. Deze relatie wordt ook wel de stelling van Dyck genoemd, naar Walther von Dyck, die het in (Dyck 1888) bewees, en het drievoudige kruisoppervlak P # P # P wordt dienovereenkomstig Dyck ‘ s oppervlak genoemd.
Geometrisch voegt connect-sum met een torus (# T) een handvat toe met beide uiteinden aan dezelfde kant van het oppervlak, terwijl connect-sum met een Klein-fles (# K) een handvat toevoegt met de twee uiteinden aan tegenoverliggende zijden van een oriënteerbaar oppervlak; in de aanwezigheid van een projectief vlak (# P) is het oppervlak niet oriënteerbaar (er is geen notie van zijde), dus is er geen verschil tussen het bevestigen van een torus en het bevestigen van een Klein-fles, wat de relatie verklaart.
oppervlakken met boundaryEdit
compacte oppervlakken, mogelijk met begrenzing, zijn eenvoudig gesloten oppervlakken met een eindig aantal gaten (open schijven die zijn verwijderd). Zo wordt een verbonden compact oppervlak geclassificeerd door het aantal grenscomponenten en het geslacht van het corresponderende gesloten oppervlak – equivalent, door het aantal grenscomponenten, de oriënteerbaarheid en Euler-karakteristiek. Het geslacht van een compact oppervlak wordt gedefinieerd als het geslacht van het overeenkomstige gesloten oppervlak.
deze indeling volgt vrijwel onmiddellijk op de indeling van gesloten oppervlakken: het verwijderen van een open schijf van een gesloten oppervlak levert een compact oppervlak op met een cirkel voor de grenscomponent, en het verwijderen van K open schijven levert een compact oppervlak op met K disjuncte cirkels voor grenscomponenten. De precieze locaties van de gaten zijn irrelevant, omdat de homeomorfismegroep K-transitief werkt op elke verbonden variëteit van dimensie ten minste 2.
omgekeerd is de grens van een compact oppervlak een gesloten 1-variëteit, en is daarom de disjuncte Vereniging van een eindig aantal cirkels; het vullen van deze cirkels met schijven (formeel, het nemen van de kegel) levert een gesloten oppervlak op.
het unieke compacte oriënteerbare oppervlak van genus g en met K grenscomponenten wordt vaak aangeduid Σ g, k, {\displaystyle \ Sigma _{g, k},}
bijvoorbeeld in de studie van de mapping class group.
Riemann-oppervlaktedit
een Riemann-oppervlak is een complexe 1-variëteit. Op zuiver topologisch niveau is een Riemann-oppervlak dus ook een oriënteerbaar oppervlak in de zin van dit artikel. In feite is elk compact richtbaar oppervlak realiseerbaar als Riemann-oppervlak. Zo worden compacte Riemann-oppervlakken topologisch gekenmerkt door hun geslacht: 0, 1, 2, …. Aan de andere kant karakteriseert het geslacht de complexe structuur niet. Er zijn bijvoorbeeld ontelbaar veel niet-isomorfe compacte Riemann-oppervlakken van genus 1 (de elliptische krommen).
niet-compacte oppervlakkenedit
niet-compacte oppervlakken zijn moeilijker te classificeren. Een eenvoudig voorbeeld is dat een niet-compact oppervlak kan worden verkregen door een gesloten variëteit te doorboren (door een eindige verzameling punten uit een gesloten variëteit te verwijderen). Aan de andere kant is elke open deelverzameling van een compact oppervlak zelf een niet-compact oppervlak; denk bijvoorbeeld aan het complement van een Cantorverzameling in de bol, Ook wel bekend als het cantorboomoppervlak. Echter, niet elk niet-compact oppervlak is een subset van een compact oppervlak; twee canonieke tegenexamples zijn de Jacob ‘ s ladder en het Loch Ness monster, die niet-compact oppervlakken met oneindige genus.
een niet-compact oppervlak M heeft een niet-lege ruimte van einden E (M), die informeel de manieren beschrijft waarop het oppervlak “tot in het oneindige gaat”. De ruimte E (M) is altijd topologisch equivalent aan een gesloten subruimte van de Cantorverzameling. M kan een eindig of aftelbaar oneindig aantal NH van handvatten hebben, evenals een eindig of aftelbaar oneindig aantal Np van projectieve vlakken. Als zowel Nh als Np eindig zijn, classificeren deze twee getallen, en het topologische type ruimte van einden, de oppervlakte M tot topologische equivalentie. Als één of beide van Nh en NP oneindig is, dan hangt het topologische type van M niet alleen af van deze twee getallen, maar ook van hoe de oneindige de ruimte van einden benadert. In het algemeen wordt het topologische type van M bepaald door de vier subruimtes van E(M) die limietpunten zijn van oneindig veel handvatten en oneindig veel projectieve vlakken, limietpunten van alleen handvatten en limietpunten van geen van beide.
oppervlakken die niet eens tweede-telbaar zijnedit
als men de aanname van tweede-telbaarheid uit de definitie van een oppervlak verwijdert, bestaan er (noodzakelijkerwijs niet-compacte) topologische oppervlakken die geen aftelbare basis voor hun topologie hebben. Misschien is het eenvoudigste voorbeeld het Cartesiaanse product van de lange lijn met de ruimte van reële getallen.
een ander oppervlak dat geen aftelbare basis voor zijn topologie heeft, maar geen keuzeaxioma nodig heeft om zijn bestaan te bewijzen, is de Prüfer-variëteit, die kan worden beschreven met eenvoudige vergelijkingen die aantonen dat het een reëel-analytisch oppervlak is. De Prüfer-variëteit kan worden beschouwd als het bovenste halfvlak,samen met een extra “tong” Tx die er direct onder het punt (x, 0) aan hangt, voor elke reële x.
in 1925 bewees Tibor Radó dat alle Riemann-oppervlakken (d.w.z. eendimensionale complexe variëteiten) noodzakelijkerwijs tweede-aftelbaar zijn (de stelling van Radó). Als men daarentegen de reële getallen in de constructie van het Prüfer-oppervlak vervangt door de complexe getallen, verkrijgt men een tweedimensionale complexe variëteit (die noodzakelijkerwijs een 4-dimensionale reële variëteit is) zonder aftelbare basis.
ProofEdit
de classificatie van gesloten oppervlakken is bekend sinds de jaren 1860, en vandaag de dag bestaan er een aantal bewijzen.
topologische en combinatorische bewijzen berusten in het algemeen op het moeilijke resultaat dat elke compacte 2-variëteit homeomorf is aan een simpliciaal complex, wat op zichzelf van belang is. Het meest voorkomende bewijs van de classificatie is (Seifert & Threlfall 1934) harv error: no target: CITEREFSeifertThrelfall1934 (help), die elk driehoekig oppervlak tot een standaardvorm brengt. Een vereenvoudigd bewijs, dat een standaardformulier vermijdt, werd ontdekt door John H. Conway rond 1992, dat hij het “Zero Irrelevancy Proof” of “ZIP proof” noemde en wordt gepresenteerd in (Francis & weken 1999).
een meetkundig bewijs, dat een sterker Meetkundig resultaat oplevert, is de uniformisatiestelling. Dit werd oorspronkelijk alleen bewezen voor Riemann-oppervlakken in de jaren 1880 en 1900 door Felix Klein, Paul Koebe en Henri Poincaré.