닫힌 서피스는 경계가 없는 컴팩트한 서피스입니다. 예로는 구,원환 체 및 클라인 병과 같은 공간이 있습니다. 비 폐쇄 표면의 예는 다음과 같습니다:구멍이 뚫린 구체 인 열린 디스크;두 개의 구멍이 뚫린 구체 인 실린더;그리고 미디엄 비우스 스트립. 닫힌 매니 폴드와 마찬가지로 상속 된 유클리드 토폴로지와 관련하여 닫힌 유클리드 공간에 포함 된 표면이 반드시 닫힌 표면은 아닙니다; 예를 들어,에 포함 된 디스크 아르 자형 3} ^{3}}
그 경계를 포함하는 표면은 위상 적으로 닫힌 표면이지만 닫힌 표면은 아닙니다.
폐쇄면 분류편집
닫힌 표면의 분류 정리는 연결된 모든 닫힌 표면이 이러한 세 가족 중 하나의 일부 구성원과 동형임을 나타냅니다:
- 구,
- 의 연결된 합 지 토리…에 대한 지 1,
- 의 연결된 합 케이 실제 투영 평면…에 대한 케이 1.
처음 두 패밀리의 표면은 방향이 있습니다. 그것은 0 토리의 연결된 합계로 구에 관한 두 가족을 결합하는 것이 편리합니다. 수 지 관련된 토리의 속 표면의 속이라고합니다. 구와 토러스는 각각 오일러 특성 2 와 0 을 가지며,일반적으로 지 토리의 연결 합계의 오일러 특성은 2-2 지이다.
세 번째 계열의 표면은 비 방향성이다. 실제 투영 평면의 오일러 특성은 1 이고,일반적으로 연결된 합계의 오일러 특성은 케이 그들 중 2-케이.
닫힌 표면은 동형성까지 두 가지 정보,즉 오일러 특성과 방향성 여부에 의해 결정됩니다. 즉,오일러 특성 및 방향성은 닫힌 표면을 동형까지 완전히 분류합니다.
다수의 연결된 컴포넌트를 갖는 폐쇄된 서피스는 각각의 연결된 컴포넌트의 클래스에 의해 분류되며,따라서 일반적으로 서피스가 연결되어 있다고 가정한다.
모노이드 구조편집
이 분류를 연결된 합계와 관련하여,동형성에 이르는 폐쇄 된 표면은 실제로 고정 된 차원의 매니 폴드처럼 연결된 합계의 작동하에 교환적인 모노이드를 형성합니다. 정체성은 구이며 실제 투영 평면과 토러스는이 모노 이드를 단일 관계로 생성합니다 피#피#피=피#티,또한 기록 될 수 있습니다 피#케이=피#티,이후 케이=피#피. 이 관계는 때때로 다이크의 정리 후 발터 폰 다이크,누가 그것을 증명(다이크 1888),그리고 트리플 크로스 표면 피#피#피 따라서 다이크의 표면이라고합니다.
기하학적으로,토러스와 연결-합(#티)은 양쪽 끝이 같은 면에 부착된 핸들을 추가하고,클라인 병(#케이)과 연결-합(#케이)은 두 끝이 방향성 표면의 반대쪽에 부착된 핸들을 추가합니다; 투영 평면의 존재(#피),표면은 방향이 없습니다(측면의 개념이 없다),그래서 토러스를 부착하고 클라인 병을 부착 사이에 차이가 없다,이는 관계를 설명.
경계선이 있는 서페이스 편집
경계가 있는 컴팩트한 서페이스는 한정된 수의 구멍(제거된 열린 디스크)이 있는 닫힌 서페이스입니다. 따라서,연결된 콤팩트 표면은 경계 성분의 수 및 대응하는 폐쇄 표면의 속-등가적으로,경계 성분의 수,방향성 및 오일러 특성에 의해 분류된다. 조밀 한 표면의 속은 대응하는 닫히는 표면의 속으로로 정의된다.
이 분류는 닫힌 표면의 분류에서 거의 즉시 따릅니다: 닫힌 표면에서 열린 디스크를 제거하면 경계 구성 요소에 대한 원이있는 컴팩트 한 표면이 생성되고 제거 케이 열린 디스크는 경계 구성 요소에 대한 분리 된 원이있는 컴팩트 한 표면이 생성됩니다. 동형 그룹은 적어도 2 차원의 연결된 모든 다기관에서 케이-전이적으로 작용하기 때문에 구멍의 정확한 위치는 관련이 없습니다.
반대로,조밀 한 표면의 경계는 닫힌 1-매니 폴드이며,따라서 유한 한 수의 원의 분리 된 결합이며,이 원을 디스크로 채우면(공식적으로 원뿔을 취함)닫힌 표면이 생성됩니다.
속의 독특한 컴팩트 한 방향성 표면 지 과 케이 경계 구성 요소는 종종 다음과 같이 표시됩니다.},}
예를 들어 매핑 클래스 그룹의 연구.
리만 표면편집
리만 표면은 복잡한 1-매니 폴드입니다. 순전히 토폴로지 수준에서 리만 표면 따라서이 기사의 의미에서 지향 가능한 표면이기도합니다. 사실,모든 컴팩트 한 방향성 표면은 리만 표면으로 실현 가능합니다. 따라서 컴팩트 한 리만 표면은 그 속에 의해 위상 적으로 특징 지어진다:0,1,2,…. 반면에,속은 복잡한 구조를 특징 짓지 않습니다. 예를 들어,속 1 의 비 동형 콤팩트 리만 표면(타원 곡선)은 헤아릴 수 없을 정도로 많습니다.
비소형 표면편집
비소형 표면은 분류하기가 더 어렵다. 간단한 예로서,비 컴팩트 한 표면은 폐쇄 된 매니 폴드에 구멍을 뚫어(유한 한 포인트 세트를 제거)얻을 수 있습니다. 예를 들어,칸토어 트리 서페이스라고 하는 구에서 칸토어 집합의 보수를 고려하십시오. 그러나 모든 비 컴팩트 한 표면이 컴팩트 한 표면의 하위 집합 인 것은 아니며 두 개의 정식 반례는 야곱의 사다리 그리고 네스호 괴물,무한 속을 가진 비 컴팩트 한 표면입니다.
비 콤팩트 표면 미디엄 끝이 비어 있지 않은 공간을 가지고 이자형(미디엄),이는 비공식적으로 말해서 표면이”무한대로 꺼지는”방법을 설명합니다. 그만큼 공간 이자형(미디엄)는 항상 위상 학적으로 캔터 세트의 닫힌 부분 공간과 동일합니다. 미디엄 유한 또는 셀 수 없을 정도로 무한한 수를 가질 수 있습니다 엔 엔 핸들과 유한 또는 셀 수 없을 정도로 무한한 수의 엔 엔 엔 의 투영 평면. 둘 다 엔 엔 과 엔 엔 피 유한 한 다음이 두 숫자와 위상 유형 끝의 공간,표면을 분류 미디엄 토폴로지 등가까지. 만약 둘 중 하나 또는 둘 다 엔 엔 과 엔 엔 무한하다면 위상 유형 미디엄 이 두 숫자뿐만 아니라 무한 한 끝 공간에 어떻게 접근하는지에 달려 있습니다. 일반적으로 토폴로지 유형 미디엄 네 개의 부분 공간에 의해 결정됩니다 이자형(미디엄)무한히 많은 핸들의 한계점과 무한히 많은 투영면,핸들의 한계점 및 둘 다의 한계점입니다.
두 번째 셀 수 없는 서페이스편집
서페이스의 정의에서 두 번째 셀 수 있는 가정을 제거하면 토폴로지에 대한 셀 수 있는 베이스가 없는 토폴로지 서페이스가 존재합니다. 아마도 가장 간단한 예는 실수의 공간을 가진 긴 줄의 데카르트 곱 일 것입니다.
또 다른 표면 토폴로지에 대 한 셀 수 있는 자료,하지만 그것의 존재를 증명 하기 위해 선택의 공리를 요구 하지,홍보 2010 매니폴드,실제-분석 표면 표시 하는 간단한 방정식에 의해 설명 될 수 있다. 1925 년,티보 라드 다기관은 모든 리만 표면(즉,1 차원 복합 다기관)이 반드시 두 번째로 셀 수 있다는 것을 증명했다(라드 다기관의 정리). 이와는 대조적으로,만약 한 사람이 홍수표면의 구성에서 실수를 복소수로 대체한다면,한 사람은 셀 수 있는 기본이 없는 2 차원 복합 매니폴드(반드시 4 차원 실제 매니폴드)를 얻게 된다.
교정편집
닫힌 표면의 분류는 1860 년대부터 알려져 왔으며,오늘날에는 많은 증거가 존재한다.
토폴로지 및 조합 증명은 일반적으로 모든 소형 2-매니 폴드가 그 자체로 관심있는 단순한 복합체와 동형이라는 어려운 결과에 의존합니다. 이는 모든 삼각 측량 된 표면을 표준 양식으로 가져옵니다. 콘웨이 년경 1992,그는”제로 부적절 증거”또는”우편 증명”이라고(프랜시스&주 1999)에 제시되어있다.
더 강한 기하학적 결과를 산출하는 기하학적 증명은 균일화 정리입니다. 이것은 원래 펠릭스 클라인,폴 코베,및 앙리 포 인카 에 의해 1880 년대와 1900 년대에 리만 표면에 대해서만 입증되었습니다.