적어도 초보자에게는 크리스토펠 상징을 생각하는 가장 좋은 방법이 있습니다.
벡터가 당신의 기본 매니 폴드,즉 시공간에서 한 지점에서 다른 지점으로 어떻게 변하는지 알고 싶다고 가정 해보십시오. 즉,벡터 필드를 차별화하고 싶습니다. 계산에서 벡터 필드에 변경 사항을 등록할 수 있는 이유는 두 가지가 있습니다:
- 벡터 자체는 실제로 한 점에서 다른 점과 다를 수 있거나
- 벡터는 두 점에서 다른 기준 벡터를 사용하여 설명 될 수 있습니다. (당신이 기초를 바꿀 때,당신이 묘사하고있는 것들의 구성 요소가 바뀔 것입니다.)
한 지점에서 다른 지점으로 벡터의 값을 감지하는 모든 변경 사항은 이러한 소스 중 하나 또는 둘 모두에서 발생할 수 있습니다.
중요한 점은 시공간에서 한 지점에서 다른 지점으로 이동함에 따라 벡터(필드)가 변경되었는지 여부를 평가할 때 실제 벡터 자체에 발생했을 수있는 변경 외에도 기초(즉,좌표계)가 길을 따라 변경되었다는 사실을 설명하기 위해 수학에서 무언가가 필요하다는 것입니다.
일반 부분 미분은이 작업을 수행하지 않습니다. 그것은 단지 기초가 변하지 않는다고 가정합니다. 그러나 가장 일반적인 경우에는 기본 벡터가 변경됩니다. 이를 설명하기 위해 우리는 일반적인 부분 미분을 공변 미분이라고 부르는 것으로 대체합니다. 기초의 변화에서 발생하는 변화를 추적하는 공변 도함수의 부분은 크리스토펠 상징이다. 그들은 우리가 기초 벡터 자체의 방향을 따라 움직일 때 기초 벡터가 얼마나 변하는지를 인코딩합니다.
일반 상대성 이론에서 이것이 어떻게 유용합니까? 그 이유는 중력을 시공간 매니 폴드의 곡률로 모델링하고,이 곡률에 대한 정보가 크리스토펠 기호로 인코딩되기 때문입니다.
그러나 크리스토펠 기호가 기초 의존적이라면(그리고 우리는 단지 그것들이 다른 좌표계/기초 벡터가 당신에게 크리스토펠 기호에 대해 다른 값을 줄 것이라고 말했습니다),그들은 어떻게 좌표계와 독립적이어야하는 기본 매니 폴드의 곡률에 대한 정보를 제공 할 수 있습니까?
크리스토펠 기호는 곡률을 직접 제공하지 않습니다. 지금까지 말씀드린 바와 같이,크리스토펠 기호가 동일하게 0 이 되려면,기준 벡터가 점점까지 바뀌어서는 안 된다는 것이 분명합니다. 이것은 우리가 기초의 변화를 고려하지 않음으로써 우리의 벡터 필드에 어떤 가짜 변화를 도입하지 않는다는 것을 의미합니다.
알아야 할 두 가지:
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0 이 아닌 크리스토펠 기호는 매니 폴드가 곡률을 갖는 것을 의미하지 않습니다. 그것이 의미하는 것은 길이 및/또는 방향을 지점에서 지점으로 변경하는 기본 벡터 필드를 사용하고 있다는 것입니다. 일반적인 예는 평면의 극좌표입니다. 이 기초 벡터는 지점에서 지점으로 바뀝니다(예:세타 방향의 기초 벡터는 원점에서 반경 방향으로 멀어 질수록 길어집니다. 이것은 당신이 적어도 일부 비 제로 크리스토펄 기호를해야합니다 의미. 그러나 분명히 공간은 구부러지지 않습니다.
- 사라지는 크리스토펠 상징은 공간에 곡률이 없다는 것을 의미하지 않는다. 그것은 당신이 측지로 알려진 궤도를 따라 여행하는 것을 의미 할 수 있습니다. (이것은’두 점 사이의 최단 거리’인 일반 평면 공간을 통한 직선의 일반화입니다.’)이 물리적 대응은 자유 낙하.
크리스토펠 기호는 공변 미분(즉,공변 미분)을 정의 할 수 있기 때문에 기본 벡터가 어떻게 변경되는지 고려하는 파생 상품),그것은 우리가 벡터의’병렬 전송’을 정의 할 수 있습니다. 즉,크리스토펠 기호는 벡터가’자신과 평행하게’유지되는 방식으로 한 지점에서 다른 지점으로 이동한다고 말하는 것이 무엇을 의미하는지 알려줍니다. ‘자신과 평행’은’공변 미분 사라짐’을 의미합니다.
곡률의 정의(적어도 그 중 하나)는 공변 도함수에 의해 가능해진 이 평행 수송 과정에 의존하며,이는 크리스토펠 기호에 의해 가능해진다.
기본 아이디어는 우리가 루프를 통해 벡터를 병렬로 전송하면(즉,시작점으로 돌아 오는),우리가 시작한 것과 동일한 벡터로 반드시 끝나는 것은 아니라는 것입니다. 이것은 비록 우리가’자기 병렬’방식으로 벡터를 수송 하는 사실 이다. 곡률에 대한 중요한 사실은 우리가 시작했던 것과 다른 벡터(0 곡률의 경우 발생할 수 있음)로 끝나는 것이 아니라 정확히 어떤 벡터로 끝나는 것은 우리가 취한 경로에 달려 있다는 것입니다. 그래서 만약 당신이 경로를 따라’그 자체에 평행 한’벡터를 옮기면 에이 과 비,당신은 당신이 시작한 벡터와’평행 한’두 개의 다른 벡터로 끝납니다. 그렇게되면,정의에 의해 당신의 공간은 곡선입니다.
요약하면,평평한 공간과 곡선 공간의 차이는 다음과 같이 넣을 수 있습니다:평평한 공간에서는 크리스토펠 기호가 모든 곳에서 사라지는 좌표계,즉 기준 벡터가 모든 지점에서 동일한 좌표계를 구축 할 수 있습니다. 곡선 공간에서,이 불가능하다. 당신은 모든 크리스토펠 기호 곡선 공간에서 사라지게 할 수 없습니다,아주 간단하게 당신이 할 수있는 경우 때문에,그냥 곡선되지 않을 것이다. 그것은 평면 것!
이 모든 것이 물리학과 무슨 관련이 있습니까? 글쎄,당신은 고무 시트 유추 등을 사용하여 시공간의 곡률에서 발생하는 중력을 생각할 수 있습니다. 그러나 저는 중력이 단순히 시공간이 어떻게 다른 지점에서 다른 기초 벡터를 사용하도록 강요하는지 수정해야 할 필요성에서 비롯된 것이라고 생각하는 것이 더 도움이된다고 생각합니다. 에 상대성 이론,’기초의 변화’의 물리적 대응 물은 운동 상태의 변화입니다. 기초의 변화에서 전적으로 발생하는 용어가 벡터에 대한 실제 사실을 반영하지 않는 것처럼-우리가 벡터를 설명하는 방법을 선택한 인공물 만-운동 상태의 변화로 인해 발생하는 용어는 실제 물리적 사실을 반영하지 않습니다.
이것은 아인슈타인이 갈릴레오의 상대성 이론에 대한 혁명적 아이디어를 확장 한 핵심입니다-당신의 운동 상태에 관계없이 물리 법칙은 그것들입니다. 동의의 너의 국가에 의존하는 아무거나는 사실이 아니다 그러나 인공물 이고 그런으로 해산되어야 한다. 이로 인해 아인슈타인(및 다른 사람들)은 우주의 진정한 법칙이 좌표계/운동 상태에 관계없이 사실이어야한다는 생각을 갖게되었습니다. 크리스토펄 기호는 모든 운동 상태에 대해 사실이되도록 만드는 방정식에서 용어로 볼 수 있습니다.
어떤 의미에서,우리는 중력의 존재가 어떻게 움직이든 물리학의 법칙이 동일하다는 것을 의미하고,중력이 그것이하는 방식으로 작동하지 않는다면,다른 관찰자들은 그들의 편협한 관점에 따라 다른 법칙을 공식화 할 것이라고 말할 수 있습니다(그리고 그 반대도 마찬가지입니다).