“칸토어가 우리를 위해 창조한 낙원에서 우리를 쫓아내는 사람은 아무도 없을 것이다.”-데이비드 힐베르트
의 아마도 수학에서 가장 간단하고 가장 우아한 증거를 증명하자:칸토어의 정리.
나는 간단하고 우아한 말했다,하지만 쉬운 일이 아닙니다!
1 부: 문제
칸토어의 정리는 집합의 요소를 하위 집합과 일대일 대응(‘페어링’)에 넣을 수 있는지 여부에 대한 질문에 답합니다. (기술적으로 말하면’비제션’). 이런 종류의 문제는’카디널리티’라는 수학적 개념과 관련이 있습니다. 우리는 세트 이론적 수학의 일종으로 일대일 대응을 볼 수 있습니다 데이트:우리는 세트의 모든 요소가 다른 세트의 로맨틱 한 일치를 찾으려면,하지만 일부 다처제를 피하기 위해 원하는,우리는 수학적 객체가 하나 인 피하려면.
예를 들어 집합{1,2,3}에는 3 개의 요소가 있습니다: 1, 2, 3.
8 개의 하위 집합이 있습니다.: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
여기서{}는’빈 집합’으로 알려져 있습니다. 당신을 불편하게 만드는 경우 당신은 지금 행복하게 무시할 수 있습니다:그것은 중요하지 않습니다. 또는 1,2,3 번호가 매겨진 세 개의 공과 작은 자루에 공을 넣을 수있는 여러 가지 방법으로 하위 집합으로 위의 내용을 봅니다. 당신이 할 수있는 한 가지는 자루에 아무것도 넣지 않는 것입니다:빈 세트.
지금까지,그래서*쉽게*. 결국,유한 세트의 경우 이것은 매우 명백한 것으로 밝혀졌습니다. 집합에 엔 요소가 있으면 하위 집합 집합에는 2**엔 요소가 있습니다. 위의 집합{1,2,3}에는 3 개의 요소와 하위 집합 집합이 있습니다(한 입이 많고 읽기가 혼란 스럽지만 예를 들어 자신을 혼동하지 마십시오!)8 요소가 있습니다. 8 = 2*2*2 = 2**3 내가 약속 한대로.
***’하위 집합 집합’은 약간 어려울 수 있습니다. 좀 더 편안하게 느끼려면 먼저 하위 집합이 현명한 수학적 대상이라는 것을 확신하십시오. 나는 몇 가지 수학적 객체가있는 경우,나는 함께 그룹 그들 중 일부는 다른 사람을 남길 수 있습니다. 당신은 모든 축구 선수로 원래 세트를 볼 수 있습니다,당신은 어떤 크기의,그 선수에서 만들 수있는 모든 잠재적 인 팀으로 하위 집합의 집합. 우리가’무한한’수의 플레이어에게 다가 갈 때,개념화하기가 조금 더 어려워 질 수 있지만 기본적인 아이디어는 동일합니다.***
그러나 칸토어는 그의 시야를 더 크게 설정했다. 무한 수의 요소를 가진 세트는 어떻습니까? 두 세트의 크기를 무한한 수의 요소와 비교할 수 있습니까? (스포일러:그렇습니다.)
2 단계:증명
칸토어는 당신이 작동하는 페어링을 발견했다고 가정합니다.
즉,집합의 요소에 넣는 함수가 있고 출력은 하위 집합입니다. 뿐만 아니라 모든 하위 집합에 대해 함수에 의해 해당 하위 집합으로’매핑’또는’전송’되는 요소를 가리킬 수 있습니다. 또한 두 요소가 동일한 하위 집합으로 전송되지 않습니다.
위의 예에서 누군가는 집합{1}에 1 을,집합{2,3}에 2 를,집합{1,2}에 3 을 보내는 기능을 제안 할 수 있습니다. 그러나 아무것도{1,2,3}에 전송되지 않으므로 분명히 작동하지 않습니다.
이것을 일반화하기 위해 칸토어는 우리에게’매핑 된 하위 집합에 포함되지 않은 요소 집합’을 고려하도록 요청합니다. 예를 들어,위의 3 은{1,2}로 전송되지만 3 은{1,2}에 없으므로 기준에 잘 맞습니다.
우리의 수학적 집합-이론적 연대 측정 기능에서이 집합도 파트너가 필요합니다. 하지만 누가이 세트의 파트너가 될 수 있습니까? 요소가 이 집합으로 전송되면 해당 집합에 포함되어 있으면 해당 집합이 될 수 없습니다. (즉,모순). 왜? 그 다음에 매핑 된 요소의 하위 집합에 포함되어 있기 때문에! 그 세트에 없다면 어떨까요? 그런 다음 그 역시 모순입니다.집합에 없는 것처럼 집합의 정의에 따라 집합에 있어야 합니다.이 집합은 매핑된 하위 집합에 포함되어 있지 않기 때문입니다.
그래서 칸토어의 흑 마법이 끝났습니다. 우리의 마법의 수학을 가정하여 데이트 기능 일,우리는 그것이 작동하지 않을 수있는 예를 발견.