ha az #S# objektumkészlet # @ # bináris művelettel (pl. összeadás vagy szorzás), akkor azt mondják, hogy a #@# alatt zárva van, ha #a@b in S# minden #a, b in S#.
vagyis, ha az #S# két #A# és #b# elemét vesszük figyelembe, az #a@b# kifejezés az #S#egy másik elemét adja meg.
tehát például a páros egész számok halmaza#{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… } # mind az összeadás, mind a szorzás alatt zárva van, mivel ha két páros egész számot ad hozzá vagy szoroz, akkor páros egész számot kap.
ezzel szemben a páratlan egész számok halmaza szorzás alatt zárt, de összeadás alatt nem zárt.
ez sokkal érdekesebbé válik, ha az identitás és az inverz alatt is bezárást igényelünk.
például a # QQ # racionális számok tulajdonságai vannak:
-
bezárva az összeadás # + # és a szorzás alatt#*#
-
tartalmazzon egy #0# azonosítót az összeadáshoz és #1 # A szorzáshoz.
-
additív inverzeket tartalmaz bármely elemhez.
-
multiplikatív inverzeket tartalmaz bármely nem nulla elemre.
-
számos más tulajdonság, amely az összeadás és a szorzás normális működésére vezethető vissza (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás stb.).
azt mondják, hogy a racionális számok mezőt alkotnak.
mi történik, ha #sqrt(2)# – t adunk a racionális számok halmazához?
az összeadás vagy szorzás alatt leáll. Például:
-
ha bármilyen racionális számot hozzáadunk az #sqrt(2)# – hez, akkor újabb irracionális számot kapunk.
-
ha bármilyen irracionális számot megszorozunk(a #0# vagy #1# kivételével) a #sqrt (2)# – vel, akkor újabb irrcionális számot kapunk.
annak érdekében, hogy újra bezáródjon, be kell vonnunk az űrlap összes számát:
#a + bsqrt(2)#
ahol # a, b QQ #
akkor megtaláljuk:
#(a + bsqrt(2)) + (c + dsqrt(2)) = (a + c)+(b+d)sqrt(2)#
#(a + bsqrt(2)) * (c+dsqrt(2)) = (ac + bd) +(ad + bc)sqrt(2)#
#(a + bsqrt(2))+((- a)+(- b)sqrt(2)) = 0#
#(a + bsqrt(2)) * ((a/(a^2-2b^2)) – (b / (a^2-2b^2)) sqrt(2)) = 1#
a trükkös az utolsó, amely alapvetően azt mondja nekünk, hogy az #a+bsqrt(2)# forma számai multiplikatív inverz alatt vannak bezárva. Mondhatnánk, hogy az #a+bsqrt(2)# űrlap nem nulla számai Osztás alatt vannak bezárva.