mi a Christoffel szimbólum?

itt a legjobb módja annak, hogy úgy gondolja, a Christoffel szimbólumok, legalábbis egy kezdő.

tegyük fel, hogy szeretné tudni, hogy/hogyan vektor változik egyik pontról a másikra a mögöttes sokrétű, azaz téridő. Más szavakkal, meg akarja különböztetni a vektor mezőjét. Két oka lehet annak, hogy a számítások során regisztrálhat egy változást a vektor mezőben:

1. maga a vektor valójában eltérő lehet az egyik ponton, mint a másikon, vagy
2. a vektort különböző bázisvektorok segítségével lehet leírni a két ponton. (Amikor megváltoztatsz egy alapot, az általad leírt dolgok összetevői megváltoznak.)

bármely változás, amelyet a vektor értékében észlel egyik pontról a másikra, az egyik vagy mindkét forrásból származhat.

a lényeg az, hogy annak értékelésekor, hogy egy vektor (mező) megváltozott-e, amikor téridőben egyik pontról a másikra halad, szüksége van valamire a matematikában, hogy figyelembe vegye azt a tényt, hogy az alapja (azaz a koordinátarendszere) megváltozott az út mentén, minden olyan változás mellett, amely magában a tényleges vektorban történt.

a közönséges parciális derivált ezt nem teszi meg. Csak azt feltételezi, hogy az alap nem változik. A legáltalánosabb esetben azonban az alapvektorok megváltoznak. Ennek figyelembevétele érdekében a közönséges parciális deriváltat kicseréljük az úgynevezett kovariáns deriváltra. A kovariáns származék azon része, amely nyomon követi az alapváltozásból eredő változásokat, a Christoffel szimbólumok. Kódolják, hogy az alapvektorok mennyire változnak, amikor maguk az alapvektorok iránya mentén haladunk.

hogyan hasznos ez az Általános relativitáselméletben? Ez azért van, mert a GR a gravitációt a téridő sokaságának görbületeként modellezi, és az erről a görbületről szóló információkat a Christoffel szimbólumok kódolják.

de ha a Christoffel szimbólumok alapfüggőek (és most mondtuk, hogy azok – a különböző koordináta-rendszerek/bázisvektorok különböző értékeket adnak a Christoffel-szimbólumokhoz), hogyan adhatnak információt a mögöttes sokaság görbületéről, amelynek függetlennek kell lennie a koordináta-rendszertől?

a Christoffel szimbólumok nem adják meg közvetlenül a görbületet. Az eddig elmondottak alapján egyértelmű, hogy ahhoz, hogy a Christoffel szimbólumok azonos módon nullák legyenek, az alapvektoroknak nem szabad megváltozniuk, amikor pontról pontra haladunk. Ez azt jelenti, hogy nem vezetünk be hamis változásokat a vektormezőinkben azáltal, hogy nem számoljuk el az alapváltozást.

két fontos dolgot kell felismerni:

1. a nem nulla Christoffel szimbólumok nem azt jelentik, hogy az elosztónak görbülete van. Ez csak annyit jelent, hogy olyan alapvektor mezőt használ, amely megváltoztatja a hosszúságot és/vagy az irányt pontról pontra. Gyakori példa a síkban lévő polárkoordináták. Ezek az alapvektorok pontról pontra változnak, pl. a théta irányú alapvektor annál hosszabb lesz, minél távolabb kerül az Origótól sugárirányban. Ez azt jelenti, hogy lesz legalább néhány nem nulla Christoffel szimbólumok. De nyilvánvaló, hogy a tér nem ívelt.

   1. a Christoffel szimbólumok eltűnése nem jelenti azt, hogy a térnek nincs görbülete. Ez azt jelentheti,hogy egy geodéziai néven ismert pályán halad. (Ez az egyenes vonalak általánosítása a közönséges sík téren keresztül ‘ a legrövidebb távolság két pont között.’) Ennek fizikai megfelelője a szabadesés.

mivel a Christoffel szimbólumok definiáljunk egy kovariáns deriváltat (pl. derivált, amely figyelembe veszi az alapvektorok változását), lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk a vektor párhuzamos transzportját. Vagyis a Christoffel szimbólum megmutatja, mit jelent azt mondani, hogy egy vektor egyik pontról a másikra tolódik el oly módon, hogy önmagával párhuzamos maradjon. A ‘ párhuzamos önmagával ‘csak azt jelenti, hogy’kovariáns derivált eltűnik’.

a görbület meghatározása (legalábbis egyikük) ettől a párhuzamos szállítási folyamattól függ, amelyet a kovariáns származék tesz lehetővé, amelyet viszont a Christoffel szimbólumok tesznek lehetővé.

az alapötlet az, hogy ha párhuzamosan szállítunk egy vektort egy hurkon keresztül (azaz visszatérünk a kiindulási pontunkhoz), akkor nem feltétlenül ugyanazzal a vektorral jutunk el, amellyel kezdtük. Ez igaz, még akkor is, ha a vektort ‘Ön párhuzamos’ módon szállítottuk. A görbület szempontjából a döntő tény nem csak az, hogy más vektorral jutunk el, mint amivel kezdtük (ez nulla görbület esetén megtörténhet), hanem az is, hogy pontosan melyik vektorral jutunk el, attól függ, hogy milyen utat választottunk. Tehát, ha egy vektort ‘önmagával párhuzamosan’ szállítunk az a és b utak mentén, akkor két különböző vektort kapunk ‘párhuzamosan’ azzal, amellyel kezdtük. Ha ez megtörténik, akkor definíció szerint a tér ívelt.

összefoglalva, a sík tér és az ívelt tér közötti különbség így fogalmazható meg: egy sík térben lehetséges olyan koordináta-rendszert építeni, ahol a Christoffel-szimbólumok mindenhol eltűnnek, azaz ahol az alapvektorok minden ponton azonosak. Ívelt térben ez lehetetlen. Nem teheti meg, hogy az összes Christoffel szimbólum eltűnjön egy ívelt térben, egyszerűen azért, mert ha tehetné, egyszerűen nem lenne ívelt. Lapos lenne!

mi köze mindennek a fizikához? Nos, gondolhat úgy a gravitációra, mint amely a téridő görbületéből származik, gumilap-analógiák felhasználásával stb. De hasznosnak tartom azt gondolni, hogy a gravitáció egyszerűen abból adódik, hogy korrigálni kell azt, hogy a mögöttes téridő hogyan kényszerít minket arra, hogy különböző bázisvektorokat használjunk különböző pontokon. A relativitáselméletben az alapváltozás fizikai megfelelője a mozgásállapot változása. Csakúgy, mint a kizárólag az alapváltozásokból eredő kifejezések nem tükrözik a vektorokkal kapcsolatos tényleges tényeket – csak a vektorok leírásának tárgyait-a mozgásállapot változásaiból származó kifejezések nem tükrözik a valós fizikai tényeket.

ez a lényege annak, hogy Einstein kiterjesztette Galilei forradalmi relativitáselméletét – hogy a fizika törvényei azok, amik, függetlenül a mozgás állapotától. Bármi, ami a mozgás állapotától függ, nem tény, hanem tárgy, ezért el kell utasítani. Ez vezette Einsteint (és másokat) ahhoz az elképzeléshez, hogy az univerzum valódi törvényeinek azoknak kell lenniük, amelyek igazak, függetlenül a koordináta-rendszertől/a mozgás állapotától. A Christoffel szimbólumok kifejezéseknek tekinthetők az egyenletekben, amelyek lehetővé teszik, hogy minden mozgási állapotra igazak legyenek.

tehát bizonyos értelemben azt mondhatjuk, hogy a gravitáció létezése abból következik, és azt is magában foglalja, hogy a fizika törvényei ugyanazok, függetlenül attól, hogy hogyan mozogsz, abban az értelemben, hogy ha a gravitáció nem úgy működne, ahogy, akkor a különböző megfigyelők különböző törvényeket fogalmaznának meg a parochiális perspektívájuktól függően (és fordítva).