a zárt felület olyan felület, amely tömör és Határ nélküli. Példák olyan terek, mint a gömb, a tórusz és a Klein-palack. Példák a nem zárt felületekre: nyitott korong, amely lyukasztással rendelkező gömb; henger, amely két lyukasztással rendelkező gömb; és az M ++ csík. Mint minden zárt sokaságnál, az euklideszi térbe ágyazott felület, amely az öröklött euklideszi topológiához képest zárt, nem feltétlenül zárt felület; például egy R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}
a határát tartalmazó felület topológiailag zárt, de nem zárt felület.
zárt felületek Osztályozásaszerkesztés
a zárt felületek osztályozási tétele kimondja, hogy bármely összekapcsolt zárt felület homeomorf e három család valamelyik tagjával:
- a gömb,
- a G tori összefüggő összege g 1-re,
- a K valós projektív síkok összefüggő összege k 1-re.
az első két család felületei orientálhatók. Kényelmes kombinálni a két családot úgy, hogy a gömböt 0 Tori összefüggő összegeként tekintjük. Az érintett tori g számát A felület nemzetségének nevezzük. A gömb és a tórusz Euler-jellemzői 2, illetve 0, és általában a G tori összefüggő összegének Euler-jellemzője 2 − 2G.
a harmadik család felületei nem orientálhatók. A valós projektív sík Euler-jellemzője 1, általában pedig k összefüggő összegének Euler − jellemzője 2-k.
Ebből következik, hogy a zárt felületet a homeomorfizmusig két információ határozza meg: az Euler-jellemző és az, hogy orientálható-e vagy sem. Más szavakkal, az Euler-karakterisztika és orientálhatóság teljesen osztályozza a zárt felületeket a homeomorfizmusig.
a több összekapcsolt komponenssel rendelkező zárt felületeket az egyes összekapcsolt komponensek osztálya szerint osztályozzuk, így általában azt feltételezzük, hogy a felület összekapcsolt.
Monoid structureEdit
ezt a besorolást összekapcsolt összegekre vonatkoztatva a homeomorfizmusig terjedő zárt felületek kommutatív monoidot alkotnak a összekapcsolt összeg működése alatt, akárcsak bármely rögzített dimenziójú sokaság. Az identitás a gömb, míg a valós projektív sík és a tórusz generálja ezt a monoidot, egyetlen relációval P # P # P = P # T, ami szintén írható P # K = P # T, mivel K = P # P. Ezt az összefüggést néha Dyck-tételnek nevezik Walther von Dyck után, aki ezt bizonyította (Dyck 1888), és a hármas keresztfelületet P # P # P ennek megfelelően Dyck-felületnek nevezzük.
geometriailag a connect-sum egy tórussal (#T) hozzáad egy fogantyút, amelynek mindkét vége a felület ugyanazon oldalához van rögzítve, míg a connect-sum egy Klein palackkal (#K) hozzáad egy fogantyút, amelynek két vége egy orientálható felület ellentétes oldalához van rögzítve; projektív sík (# P) jelenlétében a felület nem orientálható (nincs oldal fogalma), tehát nincs különbség a tórusz rögzítése és a Klein-palack rögzítése között, ami megmagyarázza a kapcsolatot.
határtalan felületek
a kompakt felületek, esetleg határokkal, egyszerűen zárt felületek, véges számú lyukkal (eltávolított nyitott tárcsák). Így egy összekapcsolt kompakt felületet a határkomponensek száma és a megfelelő zárt felület nemzetsége szerint osztályozunk-ekvivalensen a határkomponensek száma, az orientálhatóság és az Euler-jellemző szerint. A kompakt felület nemzetségét a megfelelő zárt felület nemzetségeként definiáljuk.
ez a besorolás szinte azonnal következik a zárt felületek osztályozásából: a nyitott korong zárt felületről történő eltávolítása kompakt felületet eredményez, amelynek kör van a határkomponens számára, a K nyitott korongok eltávolítása pedig kompakt felületet eredményez k diszjunkt körökkel a határkomponensek számára. A lyukak pontos elhelyezkedése irreleváns, mert a homeomorfizmus csoport hat k-tranzitíven legalább 2 dimenzió bármely összekapcsolt sokaságán.
ezzel szemben a kompakt felület határa zárt 1-sokaság, ezért véges számú kör diszjunkt egyesülése; ezeknek a köröknek a tárcsákkal való kitöltése (formálisan a kúp felvétele) zárt felületet eredményez.
a g nemzetség és a k határkomponensek egyedi, kompakt, orientálható felületét gyakran jelöljük a G , k, {\displaystyle \ Sigma _ {g, k},}
például a feltérképezési osztálycsoport vizsgálatában.
Riemann surfacesEdit
a Riemann felület egy komplex 1-sokrétű. Tisztán topológiai szinten tehát a Riemann-felület e cikk értelmében is orientálható felület. Valójában minden kompakt orientálható felület Riemann felületként valósítható meg. Így a kompakt Riemann felületeket topológiailag nemzetségük jellemzi: 0, 1, 2,…. Másrészt a nemzetség nem jellemzi a komplex szerkezetet. Például megszámlálhatatlanul sok nem izomorf kompakt Riemann-felület van 1. nemzetség (az elliptikus görbék).
nem kompakt felületekszerkesztés
a nem kompakt felületeket nehezebb osztályozni. Egyszerű példaként egy nem kompakt felületet lehet elérni egy zárt elosztó lyukasztásával (egy véges pontkészlet eltávolításával). Másrészt a kompakt felület bármely nyitott részhalmaza maga is nem kompakt felület; vegye figyelembe például a gömbben lévő Cantor-halmaz kiegészítését, más néven Cantor-fa felületét. Azonban nem minden nem kompakt felület egy kompakt felület részhalmaza; két kanonikus ellenpélda a Jacob létrája és a Loch Ness-i szörny, amelyek nem kompakt felületek végtelen nemzetséggel.
egy nem kompakt M felületnek nem üres vége van E(M), amely informálisan leírja azokat a módszereket, amelyekkel a felület “a végtelenbe megy”. Az E(M) tér topológiailag mindig egyenértékű a Cantor-halmaz zárt alterével. M lehet véges vagy megszámlálhatóan végtelen száma NH fogantyúk száma, valamint véges vagy megszámlálhatóan végtelen száma NP projektív síkok. Ha mind az Nh, mind az Np véges, akkor ez a két szám, valamint a végek térének topológiai típusa az M felületet topológiai ekvivalenciáig osztályozza. Ha egyik vagy mindkét Nh és Np végtelen, akkor a topológiai típusa M nem csak ettől a két számtól függ, hanem attól is, hogy a végtelen egy(ek) hogyan közelítik meg a végek terét. Általában az M topológiai típusát az E(M) négy altere határozza meg, amelyek végtelen sok fogantyú és végtelen sok projektív sík határpontjai, csak fogantyúk határpontjai és egyik sem határpontjai.
olyan felületek, amelyek még csak nem is másodszámlálhatóak
ha valaki kiveszi a másodszámlálhatóság feltételezését a felület definíciójából, akkor léteznek (szükségszerűen nem kompakt) topológiai felületek, amelyeknek nincs megszámlálható alapja a topológiájuknak. Talán a legegyszerűbb példa a hosszú vonal derékszögű szorzata a valós számok terével.
egy másik felület, amelynek topológiájához nincs megszámlálható alapja, de létezésének bizonyításához nincs szükség a választott axiómára, a PR ++ sokaság, amelyet egyszerű egyenletekkel lehet leírni, amelyek valós analitikus felületnek mutatják. A PR-sokaság úgy is felfogható, mint a felső félsík, egy további” nyelv ” TX-vel együtt,amely közvetlenül a pont alatt lóg le (x, 0), minden valós x-re.
1925-ben Rad 6.Tibor bebizonyította, hogy az összes Riemann-felület (azaz egydimenziós komplex sokaság) szükségszerűen másodszorra megszámlálható (Rad 6. tétel). Ezzel szemben, ha az ember a valós számokat helyettesíti a PR Adapfer felület a komplex számokkal, akkor kétdimenziós komplex sokaságot kapunk (ami szükségszerűen 4 dimenziós valós sokaság) megszámlálható bázis nélkül.
ProofEdit
a zárt felületek osztályozása az 1860-as évek óta ismert, ma pedig számos bizonyíték létezik.
a topológiai és kombinatorikus bizonyítékok általában arra a nehéz eredményre támaszkodnak, hogy minden kompakt 2-sokaság homeomorf egy egyszerűsítő komplexhez, amely önmagában érdekes. Az osztályozás leggyakoribb bizonyítéka (Seifert & Threlfall 1934) harv hiba: nincs cél: CITEREFSeifertThrelfall1934 (segítség), amely minden háromszögelt felületet szabványos formába hoz. Egy egyszerűsített bizonyítékot, amely elkerüli a szabványos formát, John H. Conway fedezte fel 1992 körül, amelyet “nulla Irreleváns bizonyítéknak” vagy “ZIP bizonyítéknak” nevezett, és a (Francis & Weeks 1999).
a geometriai bizonyítás, amely erősebb geometriai eredményt ad, az uniformizációs tétel. Ezt eredetileg csak az 1880-as és 1900-as évek Riemann-felületein bizonyították Felix Klein, Paul Koebe és Henri Poincar.