“senki sem fog elűzni minket a paradicsomból, amelyet Cantor teremtett nekünk” — David Hilbert
mi lenne jobb módja az elszigeteltségnek, mint a végtelenen gondolkodni? Bizonyítsuk be a matematika talán legegyszerűbb és legelegánsabb bizonyítékát: a Cantor-tételt.
azt mondtam, egyszerű és elegáns, de nem könnyű!
I. Rész: A probléma megfogalmazása
Cantor tétele megválaszolja azt a kérdést, hogy egy halmaz elemei beilleszthetők-e egy-egy megfelelésbe (‘párosítás’) részhalmazaival. (Technikailag: bijekció). Ez a fajta probléma a ‘kardinalitás’nevű matematikai koncepcióhoz kapcsolódik. Az egy-egy levelezést valamiféle halmazelméleti matematikának tekinthetjük randevú: azt akarjuk, hogy a készlet minden eleme megtalálja romantikus párját egy másik halmazban, de el akarja kerülni a poligámiát, és el akarjuk kerülni, hogy a matematikai objektumok egyedülállóak legyenek.
például a {1,2,3} halmaznak 3 eleme van: 1, 2, 3.
8 részhalmaza van: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
ahol {} az ‘üres halmaz’ néven ismert. Egyelőre boldogan figyelmen kívül hagyhatja, ha kényelmetlenné teszi: nem lesz fontos. Alternatív megoldásként tekintse meg a fentieket három 1,2,3-as számozott golyóként, az alcsoportokat pedig úgy, hogy a golyókat egy kis zsákba helyezheti. Egy dolgot tehet, hogy semmit sem tesz a zsákba: az üres készletet.
eddig, így *könnyű*. Végül is a véges halmazok esetében ez teljesen nyilvánvalónak bizonyul. Ha egy halmaznak N eleme van, akkor a részhalmazok halmazának 2**n eleme van. A fentiekben a {1,2,3} halmaznak 3 eleme van ,és a részhalmazok halmaza (ez egy falat és zavaró olvasni, de nézd meg a példát, hogy ne keverd össze magad!) 8 elemet tartalmaz. 8 = 2*2*2 = 2**3 ahogy ígértem.
***a ‘részhalmazok halmaza’ állítás kissé ijesztő lehet. Ahhoz, hogy egy kicsit kényelmesebbnek érezze magát, először győződjön meg róla, hogy egy részhalmaz értelmes matematikai objektum. Ha vannak matematikai tárgyaim, néhányat csoportosíthatok, másokat pedig kihagyhatok. Az eredeti készletet úgy tekintheti meg, mint az összes futballistát, a részhalmazokat pedig úgy, mint az összes lehetséges csapatot, amelyet ezekből a játékosokból készíthet, bármilyen méretű. Amikor végtelen számú játékoshoz jutunk, a dolgok kicsit nehezebben fogalmazhatók meg, de az alapötlet ugyanaz.***
de Cantor nagyobb célokat tűzött ki. Mi a helyzet a végtelen számú elemet tartalmazó készletekkel? Össze tudjuk-e hasonlítani a két készlet méretét végtelen számú elemmel? (Spoiler: igen.)
II. lépés: a bizonyíték
Cantor feltételezi, hogy talált egy párosítást, amely működik.
ez azt jelenti, hogy van egy függvény, amelyet egy halmaz elemébe helyez, és a kimenet egy részhalmaz. Nem csak ezt, hanem minden részhalmazra mutathat egy elemre, amelyet a függvény leképez vagy ‘küld’ az adott részhalmazba. Is, nincs két elem kap küldött ugyanazon részhalmaza.
a fenti példában valaki javasolhatja azt a függvényt, amely 1-et küld a {1} halmaznak, 2-t a {2,3} halmaznak, 3-at pedig a {1,2} halmaznak. De semmit sem küldünk {1,2,3} – nek, így egyértelműen ez nem működik.
ennek általánosításához Cantor arra kér minket, hogy vegyük figyelembe ‘azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek nem szerepelnek abban a részhalmazban, amelyhez hozzá vannak rendelve’. Például, a fenti 3 küldött {1,2} de 3 nem {1,2} így illik a kritérium szépen.
matematikai halmazelméleti datálási funkciónkban ennek a halmaznak is szüksége van partnerre. De ki lehet ennek a készletnek a partnere? Ha egy elemet küldünk erre a készletre, akkor ha benne van abban a készletben, akkor nem lehet. (azaz ellentmondás). Miért? Mert akkor az elemek részhalmazában található, amelyre leképezték! Mi van, ha nem abban a készletben van? Akkor ez is ellentmondás, mintha nem lenne a halmazban, a halmaz meghatározása szerint a halmazban kell lennie, mert nem szerepel abban a részhalmazban, amelyhez leképezték.
és így Cantor fekete mágiája megtörtént. Feltételezve, hogy mágikus matematikai randevú funkció működött, találtunk egy példát, ahol nem működhetett.