Una superficie cerrada es una superficie compacta y sin límites. Ejemplos son espacios como la esfera, el toro y la botella de Klein. Ejemplos de superficies no cerradas son: un disco abierto, que es una esfera con un pinchazo; un cilindro, que es una esfera con dos pinchazos; y la tira de Möbius. Al igual que con cualquier colector cerrado, una superficie incrustada en el espacio euclidiano que está cerrada con respecto a la topología euclidiana heredada no es necesariamente una superficie cerrada; por ejemplo, un disco incrustado en R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}
que contiene su límite es una superficie topológicamente cerrada, pero no una superficie cerrada.
Clasificación de superficies cerradaseditar
El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conectada es homeomórfica a algún miembro de una de estas tres familias:
- la esfera,
- la suma conectada de g tori para g ≥ 1,
- la suma conectada de k planos proyectivos reales para k ≥ 1.
Las superficies de las dos primeras familias son orientables. Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conectada de 0 tori. El número g de tori involucrado se denomina género de la superficie. La esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conectada de g tori es 2-2g.
Las superficies de la tercera familia no son orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1, y en general la característica de Euler de la suma conectada de k de ellos es 2 − k.
Se deduce que una superficie cerrada está determinada, hasta el homeomorfismo, por dos piezas de información: su característica Euler, y si es orientable o no. En otras palabras, la característica y orientabilidad de Euler clasifican completamente las superficies cerradas hasta el homeomorfismo.
Las superficies cerradas con múltiples componentes conectados se clasifican por la clase de cada uno de sus componentes conectados, y por lo tanto, generalmente se asume que la superficie está conectada.
Estructura monoideedItar
Relacionando esta clasificación con sumas conectadas, las superficies cerradas hasta el homeomorfismo forman un monoide conmutativo bajo la operación de suma conectada, al igual que los colectores de cualquier dimensión fija. La identidad es la esfera, mientras que el plano proyectivo real y el toro generan este monoide, con una sola relación P # P # P = P # T, que también puede escribirse P # K = P # T, ya que K = P # P. Esta relación se conoce a veces como teorema de Dyck en honor a Walther von Dyck, quien lo demostró en (Dyck 1888), y la superficie de triple cruz P # P # P se denomina superficie de Dyck.
Geométricamente, connect-sum con un toro (# T) agrega un mango con ambos extremos unidos al mismo lado de la superficie, mientras que connect-sum con una botella Klein (# K) agrega un mango con los dos extremos unidos a lados opuestos de una superficie orientable; en presencia de un plano proyectivo (# P), la superficie no es orientable (no hay noción de lado), por lo que no hay diferencia entre unir un toro y una botella de Klein, lo que explica la relación.
Superficies con encuadernacióneditar
Las superficies compactas, posiblemente con borde, son simplemente superficies cerradas con un número finito de orificios (discos abiertos que se han eliminado). Por lo tanto, una superficie compacta conectada se clasifica por el número de componentes de contorno y el género de la superficie cerrada correspondiente, de forma equivalente, por el número de componentes de contorno, la orientabilidad y la característica de Euler. El género de una superficie compacta se define como el género de la superficie cerrada correspondiente.
Esta clasificación sigue casi inmediatamente a la clasificación de superficies cerradas: la eliminación de un disco abierto de una superficie cerrada produce una superficie compacta con un círculo para el componente de contorno, y la eliminación de k discos abiertos produce una superficie compacta con k círculos disjuntos para los componentes de contorno. Las ubicaciones precisas de los agujeros son irrelevantes, porque el grupo homeomorfismo actúa k-transitivamente en cualquier variedad conectada de dimensión al menos 2.
Por el contrario, el límite de una superficie compacta es una variedad 1 cerrada, y por lo tanto es la unión disjunta de un número finito de círculos; llenar estos círculos con discos (formalmente, tomando el cono) produce una superficie cerrada.
La superficie orientable compacta única del género g y con componentes de contorno k a menudo se denota Σ g, k, {\displaystyle \ Sigma _{g, k},}
por ejemplo en el estudio del grupo de clases de asignación.
Superficies de Riemanneditar
Una superficie de Riemann es un complejo de 1 colector. En un nivel puramente topológico, una superficie de Riemann es también una superficie orientable en el sentido de este artículo. De hecho, cada superficie orientable compacta es realizable como una superficie de Riemann. Así, las superficies compactas de Riemann se caracterizan topológicamente por su género: 0, 1, 2, …. Por otro lado, el género no caracteriza la estructura compleja. Por ejemplo, hay incontables superficies compactas de Riemann no isomórficas del género 1 (las curvas elípticas).
Superficies no compactaseditar
Las superficies no compactas son más difíciles de clasificar. Como un ejemplo simple, una superficie no compacta se puede obtener perforando (eliminando un conjunto finito de puntos de) un colector cerrado. Por otro lado, cualquier subconjunto abierto de una superficie compacta es en sí mismo una superficie no compacta; considere, por ejemplo, el complemento de un conjunto de Cantores en la esfera, también conocido como la superficie del árbol de Cantores. Sin embargo, no todas las superficies no compactas son un subconjunto de una superficie compacta; dos contraejemplos canónicos son la escalera de Jacob y el monstruo del Lago Ness, que son superficies no compactas con un género infinito.
Una superficie no compacta M tiene un espacio no vacío de extremos E (M), que informalmente describe las formas en que la superficie «se va al infinito». El espacio E (M) es siempre topológicamente equivalente a un subespacio cerrado del conjunto Cantor. M puede tener un número finito o infinito numerable Nh de manijas, así como un número finito o infinito numerable Np de planos proyectivos. Si tanto Nh como Np son finitos, entonces estos dos números, y el tipo topológico de espacio de extremos, clasifican la superficie M hasta la equivalencia topológica. Si uno o ambos de Nh y Np son infinitos, entonces el tipo topológico de M depende no solo de estos dos números, sino también de cómo los infinitos se acercan al espacio de los extremos. En general, el tipo topológico de M está determinado por los cuatro subespacios de E (M) que son puntos límite de infinitos tiradores e infinitos planos proyectivos, puntos límite de solo tiradores y puntos límite de ninguno de los dos.
Superficies que ni siquiera son segundas numerableseditar
Si se elimina la suposición de segundas numerabilidad de la definición de una superficie, existen superficies topológicas (necesariamente no compactas) que no tienen una base contable para su topología. Quizás el ejemplo más simple es el producto cartesiano de la línea larga con el espacio de los números reales.
Otra superficie que no tiene base contable para su topología, pero que no requiere el Axioma de Elección para demostrar su existencia, es la variedad de Prüfer, que se puede describir mediante ecuaciones simples que muestran que es una superficie analítica real. La variedad de Prüfer se puede considerar como el medio plano superior junto con una «lengua» Tx adicional colgando directamente debajo del punto (x,0), para cada x real.
En 1925, Tibor Radó demostró que todas las superficies de Riemann (es decir, variedades complejas unidimensionales) son necesariamente segundas contables (teorema de Radó). Por el contrario, si se reemplazan los números reales en la construcción de la superficie de Prüfer por los números complejos, se obtiene una variedad compleja bidimensional (que es necesariamente una variedad real de 4 dimensiones) sin base contable.
ProofEdit
La clasificación de superficies cerradas se conoce desde la década de 1860, y hoy en día existen varias pruebas.
Las pruebas topológicas y combinatorias en general se basan en el difícil resultado de que cada colector compacto de 2 es homeomórfico a un complejo simplicial, que es de interés por derecho propio. La prueba más común de la clasificación es (Seifert & Threlfall 1934) error harv: no objetivo: CITEREFSeifertThrelfall1934 (ayuda), que lleva cada superficie triangulada a una forma estándar. Una prueba simplificada, que evita una forma estándar, fue descubierta por John H. Conway alrededor de 1992, que llamó la «Prueba de Irrelevancia Cero» o «prueba de CREMALLERA» y se presenta en (Francis & Semanas 1999).
Una prueba geométrica, que produce un resultado geométrico más fuerte, es el teorema de uniformización. Esto fue probado originalmente solo para superficies de Riemann en las décadas de 1880 y 1900 por Felix Klein, Paul Koebe y Henri Poincaré.