Si #S # es un conjunto de objetos con una operación binaria # @ # (por ejemplo, suma o multiplicación), entonces se dice que está cerrado bajo #@# si y solo si #a@b en S# para todos #a, b en S#.
Es decir, dados dos elementos cualesquiera #a # y # b # de #S#, la expresión #a@b # te da otro elemento de #S#.
Por ejemplo, el conjunto de enteros pares #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… } # está cerrado bajo suma y multiplicación, ya que si suma o multiplica dos enteros pares, obtendrá un entero par.
A modo de contraste, el conjunto de enteros impares se cierra bajo multiplicación, pero no se cierra bajo suma.
Esto se vuelve mucho más interesante una vez que también requerimos el cierre bajo identidad e inverso.
Por ejemplo, los números racionales #QQ # tienen las propiedades:
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Cerrado bajo suma #+# y multiplicación #*#
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Contiene una identidad #0# para la suma y #1 # para la multiplicación.
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Contiene inversos aditivos para cualquier elemento.
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Contiene inversos multiplicativos para cualquier elemento distinto de cero.
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Varias otras propiedades que se reducen a la suma y multiplicación que funcionan como normales (conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.).
Se dice que los números racionales forman un campo.
¿Qué sucede cuando agregamos # sqrt (2)# al conjunto de números racionales?
Deja de cerrarse por adición o multiplicación. Por ejemplo:
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Si agregas cualquier número racional a #sqrt(2)# entonces obtienes otro número irracional.
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Si multiplicas cualquier número irracional (aparte de #0# o #1#) por #sqrt(2)#, entonces obtienes otro número irracional.
Para volver a cerrarlo, necesitamos incluir todos los números del formulario:
#a + bsqrt(2)#
donde #a, b en QQ #
Entonces encontramos:
#(a+bsqrt(2)) + (c+dsqrt(2)) = (a+c)+(b+d)sqrt(2)#
#(a+bsqrt(2)) * (c+dsqrt(2)) = (ac+bd) + (ad+bc)sqrt(2)#
#(a+bsqrt(2))+((-a)+(-b)sqrt(2)) = 0#
#(a+bsqrt(2)) * ((a/(a^2-2b^2)) – (b/(a^2-2b^2))sqrt(2)) = 1#
La difícil es la última, lo que básicamente nos dice que los números de la forma #a+bsqrt(2)# son cerrados bajo inverso multiplicativo. Se podría decir que los números distintos de cero de la forma #a+bsqrt(2)# están cerrados bajo división.