¿Qué es un símbolo de Christoffel?

Esta es la mejor manera de pensar en los símbolos de Christoffel, al menos para un principiante.

Supongamos que desea saber si/cómo cambia un vector de un punto a otro en su variedad subyacente, es decir, el espacio-tiempo. En otras palabras, desea diferenciar su campo vectorial. Hay dos razones por las que puede registrar un cambio en el campo vectorial en sus cálculos:

1. El vector en sí puede ser diferente en un punto que en el otro O
2. El vector puede describirse utilizando vectores de base diferentes en los dos puntos. (Cuando cambias una base, los componentes de las cosas que estás describiendo cambiarán.)

Cualquier cambio que detecte en el valor del vector de un punto a otro podría provenir de una de estas fuentes o de ambas.

El punto importante es que al evaluar si un vector (campo) ha cambiado a medida que avanza de un punto a otro en el espacio-tiempo, necesita algo en sus matemáticas para explicar el hecho de que su base (es decir, su sistema de coordenadas) ha cambiado a lo largo del camino, además de cualquier cambio que pueda haber ocurrido en el propio vector real.

La derivada parcial ordinaria no hace esto. Simplemente asume que la base no cambia. En el caso más general, sin embargo, los vectores de base cambiarán. Para explicar esto, reemplazamos la derivada parcial ordinaria con lo que se llama la derivada covariante. La parte de la derivada covariante que realiza un seguimiento de los cambios que surgen del cambio de base son los símbolos de Christoffel. Codifican cuánto cambian los vectores base a medida que nos movemos a lo largo de la dirección de los vectores base.

¿Cómo es esto útil en la Relatividad General? Es porque GR modela la gravedad como la curvatura de la variedad espacio-tiempo, y la información sobre esta curvatura está codificada en los símbolos de Christoffel.

Pero si los símbolos de Christoffel son dependientes de la base (y acabamos de decir que lo son: diferentes sistemas de coordenadas/vectores de base le darán diferentes valores para los símbolos de Christoffel), ¿cómo pueden proporcionar información sobre la curvatura de la variedad subyacente, que debe ser independiente del sistema de coordenadas?

Los símbolos Christoffel no dan la curvatura directamente. Por lo que hemos dicho hasta ahora, está claro que para que los símbolos de Christoffel sean cero de forma idéntica, los vectores base no deben cambiar a medida que avanzamos de un punto a otro. Esto significa que no introduciremos ningún cambio falso en nuestros campos vectoriales al no tener en cuenta el cambio de base.

Dos cosas importantes a reconocer:

1. Los símbolos Christoffel distintos de cero no significan que el colector tenga curvatura. Todo lo que significa es que está utilizando un campo vectorial base que cambia la longitud y/o dirección de un punto a otro. Un ejemplo común son las coordenadas polares en el plano. Estos vectores base cambian de punto a punto, por ejemplo, el vector base en la dirección theta se hace más largo cuanto más lejos se llega del origen en la dirección radial. Esto significa que tendrás al menos algunos símbolos Christoffel distintos de cero. Pero claramente el espacio no es curvo.

   1. Los símbolos de Christoffel desvanecidos no significan que el espacio no tenga curvatura. Podría significar que estás viajando a lo largo de una trayectoria conocida como geodésica. (Esta es la generalización de líneas rectas a través del espacio plano ordinario siendo ‘la distancia más corta entre dos puntos.’) La contraparte física de esto es la caída libre.

Dado que los símbolos de Christoffel definamos una derivada covariante (es decir, derivada que tiene en cuenta cómo cambian los vectores base), nos permite definir el ‘transporte paralelo’ de un vector. Es decir, el símbolo de Christoffel nos dice lo que significa decir que un vector se desplaza de un punto a otro de una manera que permanece «paralelo a sí mismo». ‘Paralelo a sí mismo’ solo significa ‘derivado covariante se desvanece’.

La definición de curvatura (al menos una de ellas) depende de este proceso de transporte paralelo, que es posible gracias a la derivada covariante, que a su vez es posible gracias a los símbolos de Christoffel.

La idea básica es que si transportamos en paralelo un vector sobre un bucle (es decir, regresamos a nuestro punto de partida), no necesariamente terminamos con el mismo vector con el que comenzamos. Esto es cierto a pesar de que transportamos el vector de una manera «auto-paralela». El hecho crucial para la curvatura no es solo que terminamos con un vector diferente al que empezamos (que puede suceder en el caso de curvatura cero), sino que el vector con el que terminamos depende del camino que tomamos. Así que si transportas un vector ‘paralelo a sí mismo’ a lo largo de las rutas a y b, terminas con dos vectores diferentes ‘paralelos’ al que empezaste. Si eso sucede, entonces, por definición, su espacio es curvo.

En resumen, la diferencia entre un espacio plano y un espacio curvo se puede poner así: en un espacio plano, es posible construir un sistema de coordenadas donde los símbolos de Christoffel se desvanecen en todas partes, es decir, donde los vectores de base son los mismos en cada punto. En un espacio curvo, esto es imposible. No puedes hacer desaparecer todos los símbolos de Christoffel en un espacio curvo, simplemente porque si pudieras, no sería curvo. Sería plana.

¿Qué tiene que ver todo esto con la física? Bueno, puedes pensar en la gravedad como si surgiera de la curvatura del espacio-tiempo, usando analogías de láminas de goma, etc. Pero me parece más útil pensar en la gravedad como si simplemente surgiera de esta necesidad de corregir cómo el espacio-tiempo subyacente nos obliga a usar diferentes vectores de base en diferentes puntos. En la teoría de la relatividad, la contraparte física del «cambio de base» es el cambio de estado de movimiento. Así como los términos que surgen únicamente de cambios de base no reflejan hechos reales sobre vectores, solo artefactos de cómo elegimos describir vectores, los términos que surgen de cambios en el estado de movimiento no reflejan hechos físicos reales.

Este es el corazón de la extensión de Einstein de la idea revolucionaria de la relatividad de Galileo: que las leyes de la física son lo que son, independientemente de su estado de movimiento. Cualquier cosa que dependa de su estado de movimiento no es un hecho, sino un artefacto y debe descartarse como tal. Esto llevó a Einstein (y a otros) a la idea de que las verdaderas leyes del universo deberían ser las que se mantienen verdaderas independientemente del sistema de coordenadas/estado de movimiento. Los símbolos de Christoffel se pueden ver como términos en las ecuaciones que hacen que sean verdaderos para todos los estados de movimiento.

Así que, en cierto sentido, podemos decir que la existencia de la gravedad se deriva e implica que las leyes de la física son las mismas sin importar cómo se esté moviendo, en el sentido de que si la gravedad no operara de la manera en que lo hace, entonces diferentes observadores formularían diferentes leyes dependiendo de sus perspectivas parroquiales (y viceversa).