«Nadie nos llevará desde el paraíso que Cantor ha creado para nosotros» — David Hilbert
¿Qué mejor manera de pasar en el aislamiento que para reflexionar sobre el infinito? Probemos quizás la prueba más simple y elegante en matemáticas: el Teorema de Cantor.
Dije simple y elegante, ¡aunque no es fácil!
Parte I: Planteando el problema
El teorema de Cantor responde a la pregunta de si los elementos de un conjunto se pueden poner en una correspondencia uno a uno (‘emparejamiento’) con sus subconjuntos. (Técnicamente hablando, una ‘biyección’). Este tipo de problema tiene que ver con un concepto matemático llamado ‘cardinalidad’. Podemos ver una correspondencia uno a uno como una especie de datación matemática teórica de conjuntos: queremos que cada elemento del conjunto encuentre su coincidencia romántica en otro conjunto, pero queremos evitar la poligamia, y queremos evitar que los objetos matemáticos sean únicos.
Por ejemplo, el conjunto {1,2,3} tiene 3 elementos: 1, 2, 3.
tiene 8 subconjuntos: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
donde {} se conoce como el «conjunto vacío’. Puedes ignorarlo felizmente por ahora si te hace sentir incómodo: no será importante. Alternativamente, vea lo anterior como tres bolas numeradas 1,2,3 y los subconjuntos como las diferentes formas en que puede poner bolas en un saco pequeño. Una cosa que puedes hacer es no meter nada en el saco: el juego vacío.
Hasta ahora, tan * fácil*. Después de todo, para conjuntos finitos esto resulta ser bastante obvio. Si un conjunto tiene N elementos, el conjunto de subconjuntos tiene 2**n elementos. En lo anterior, el conjunto {1,2,3} tiene 3 elementos, y el conjunto de subconjuntos (es un trabalenguas y confuso de leer, pero mira el ejemplo para desconectarte!) tiene 8 elementos. 8 = 2*2*2 = 2**3 como prometí.
***La instrucción ‘el conjunto de subconjuntos’ puede ser un poco desalentadora. Para sentirse un poco más cómodo, primero asegúrese de que un subconjunto es un objeto matemático sensible. Si tengo algunos objetos matemáticos, puedo agrupar algunos de ellos y dejar otros fuera. Puede ver el conjunto original como todos sus jugadores de fútbol, y el conjunto de subconjuntos como todos los equipos potenciales que puede hacer con esos jugadores, de cualquier tamaño. Cuando llegamos a un número «infinito» de jugadores, las cosas pueden ser un poco más difíciles de conceptualizar, pero la idea básica es la misma.***
Pero Cantor había puesto sus miras más grandes. ¿Qué pasa con conjuntos con un número infinito de elementos? Podemos comparar el tamaño de dos conjuntos con un número infinito de elementos? (Spoiler: sí.)
Paso II: La Prueba
Cantor supone que ha encontrado un emparejamiento que funciona.
Es decir, tiene una función, que coloca en un elemento de un conjunto, y la salida es un subconjunto. No solo eso, sino que para cada subconjunto puede apuntar a un elemento que la función ‘asigna’ o ‘envía’ a ese subconjunto. Además, no se envían dos elementos al mismo subconjunto.
En el ejemplo anterior, alguien podría proponer la función que envía 1 al conjunto {1}, 2 al conjunto {2,3} y 3 al conjunto {1,2}. Pero no se envía nada a {1,2,3}, así que claramente esto no funciona.
Para generalizar esto, Cantor nos pide que consideremos ‘el conjunto de elementos que no están contenidos en el subconjunto al que están asignados’. Por ejemplo, en el anterior 3 se envía a {1,2} pero 3 no está en {1,2}, por lo que se ajusta bien al criterio.
En nuestra función de datación teórica de conjuntos matemáticos, este conjunto también necesita un socio. Pero, ¿quién puede ser el socio de este set? Si un elemento se envía a este conjunto, entonces si está contenido en ese conjunto, entonces no puede ser. (es decir, una contradicción). ¿Por qué? ¡Porque luego está contenido en el subconjunto de elementos a los que se mapeó! ¿Y si no está en ese set? Entonces eso también es una contradicción, como si no estuviera en el conjunto, por la definición del conjunto, debe estar en el conjunto porque no está contenido en el subconjunto al que está asignado.
Y así se hace la magia negra de Cantor. Asumiendo que nuestra función mágica de datación matemática funcionaba, encontramos un ejemplo en el que no podía funcionar.