Resumen
Los coeficientes de Clebsch-Gordan en los que se reordenan los tres momentos angulares, j 1, j 2 y j = j 3, pueden estar simplemente relacionados entre sí. El caso más trivial involucra el intercambio del orden de los números cuánticos, j 1 m 1 y j 2 m 2. El vector de estado j j 1, j 2 j 2 m 2 is es un producto directo de dos vectores que involucran subespacios separados del espacio completo de Hilbert, o en términos de representación de coordenadas, la función de onda es un producto de funciones que involucran diferentes variables. Por ejemplo, podría ser una función de variables orbitales y podría ser una función de variables de espín. Por lo tanto, el producto de estas dos funciones no debe depender del orden en el que escribamos las dos funciones. Por lo tanto , cuando expandimos esta función de producto en terras de las funciones propias del momento angular total, el resultado debe ser independiente del orden en el que escribimos la función de producto original,, o, con la posible excepción de un factor de fase general. Este factor de fase se debe a que nuestra convención de fase que fija el signo general de los coeficientes de Clebsch—Gordan da preferencia al momento angular sentado en las posiciones número 1 y número 3 del coeficiente de Clebsch—Gordan. Por lo tanto, j j 1 j 1 j 2 m 2 j j 3 j 3 must debe ser positivo por nuestra convención de fase. Del mismo modo, 〈j 2 j 2 j 1 m 1❘j 3 j 3〉 también debe ser positiva. Por el contrario, la Clebsch—Gordan coeficiente 〈j 1 m 1 j 2 j 2❘j 3 j 3〉 tiene el signo con m 1 = j 3 j 2 por lo tanto, su signo es.