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Ejemplo: Campo magnético de un cable coaxial
Ahora calculemos los campos magnéticos de un cable coaxial en diferentes regiones.
Campo B de un cable coaxial. Un cable coaxial consta de dos regiones cilíndricas concéntricas, un núcleo interno, una carcasa cilíndrica externa, algo así. Estas regiones cilíndricas conductoras están separadas por un medio aislante entre sí, y como uno de estos cilindros lleva la corriente en una dirección, se llama la corriente que fluye el núcleo interno como i sub a. La carcasa cilíndrica exterior lleva la corriente i sub b en dirección opuesta.
Si damos algunas dimensiones a este cable, digamos que este radio es a, el radio interior de la carcasa cilíndrica exterior es b, y el radio exterior de la otra carcasa cilíndrica es c.
Por lo tanto, la corriente fluye a través de estos cilindros en direcciones opuestas, y nos gustaría determinar el campo magnético de dicho cable en diferentes regiones. Comencemos con la región tal que nuestro punto de interés, la distancia al centro, sea menor que el radio a. En otras palabras, dentro del cilindro interno.
Y veamos este caso desde la vista superior y aquí tenemos, digamos, el cilindro interior desde el punto de vista de la sección transversal, y la carcasa cilíndrica exterior, algo como esto, y el cilindro interior está llevando la corriente i sub a fuera del plano, y el cilindro exterior está llevando la corriente i sub b al plano, en todas partes a lo largo de estas regiones.
De nuevo, el radio del cilindro interior es a, y este radio es b y el radio de la región exterior es c. Bueno, hemos hecho un ejemplo muy similar anteriormente. Nuestra primera región de interés es que nuestro punto de punto a está dentro del cilindro interior. Digamos que en algún lugar por aquí, y para encontrar el campo magnético en esta ubicación, que está a poca distancia de r del centro, colocamos un bucle empírico en forma de círculo que coincide con la línea del campo magnético que pasa a través de ese punto, y llamemos a este bucle como c1 para la primera región.
Y la ley empire/s dice que B de dl integrado sobre este bucle, c1, será igual a neu 0 veces la corriente neta que pasa a través de la región, o la superficie, rodeada por este bucle c1.
Como hicimos en los ejemplos anteriores, tal bucle satisfará las condiciones para aplicar la ley de empire, y el campo magnético será tangente a la línea de campo, y esa línea de campo coincide con el bucle que estamos eligiendo y dl es un elemento de desplazamiento incremental a lo largo de este bucle, por lo tanto, el ángulo entre b y dl siempre será de 0 grados para este caso.
Por lo tanto, el lado izquierdo nos dará magnitud b, magnitud dl veces cosin de 0, integrado sobre el bucle c1, será igual a neu 0 veces encerrada.
Cosin de 0 es 1 y b es constante sobre este bucle porque el bucle coincide con la línea de campo magnético que pasa a través de ese punto, y mientras estemos en esa línea de campo veremos la misma magnitud de campo magnético. Por lo tanto, dado que la magnitud es constante, podemos tomarla fuera de la integral, por lo tanto, el lado izquierdo que terminamos con b por integral de dl sobre bucle c1 es igual a neu 0 por i encerrado.
Integral de c1, integral de dl, sobre bucle c1 nos dará la longitud de ese bucle, que es la circunferencia de ese círculo, y que será igual a 2pi por el radio de ese círculo, que es poco r por b será igual a neu 0 por i encerrado.
I incluida es la corriente neta que pasa a través de la región rodeada por este bucle c, de modo que es la superficie. El bucle c rodea esta región sombreada verde, y sabemos que a través de toda la superficie interna, la corriente que fluye es i sub a, que básicamente cubre toda esta región de aquí, y para obtener la corriente neta que fluye a través de esta región sombreada verde, definiremos la densidad de corriente, que es corriente por unidad de área de sección transversal, y si multiplicamos esa densidad de corriente por el área rodeada por el bucle c, obtendremos la cantidad de corriente que pasa a través de esa superficie.
Por lo tanto, si seguimos adelante, tendremos b por 2 pir, este es el lado izquierdo, que es igual a neu0 por lo que encerré, donde en este caso encerré será igual a J por el área de esa región, que es pir al cuadrado, y aquí la densidad de corriente es la corriente total dividida por el área de la sección transversal total de este cable, y eso es pi por un cuadrado.
Por lo tanto, b por 2pir va a ser neu0 veces, donde encerramos tendremos i sobre el cuadrado de pia, y esta es la densidad de corriente para la corriente que fluye a través del cilindro interno, y debo usar el subíndice a aquí porque definimos la cantidad de corriente que fluye a través del cilindro interno como i sub a. I sub a sobre el cuadrado de pia nos dará la densidad de corriente, y si multiplicamos esta corriente por unidad de área por el área de la región que nos interesa, que es pir cuadrado, entonces terminamos con la corriente total pasando por esa superficie.
Aquí, este pi y ese pi se cancelarán, y podemos cancelar uno de estos cuadrados r con la r en el lado izquierdo, y dejando solo b, terminaremos con un campo magnético dentro del cilindro interno como neu0 i sub a dividido por 2 pia cuadrados por r.
Y, por supuesto, este es el resultado idéntico al ejemplo que hicimos anteriormente para obtener el perfil de campo magnético de un cable cilíndrico que transporta corriente.
Ahora, como segunda región, consideremos el campo magnético para la región que nuestro punto de interés está entre los dos cilindros. En otras palabras, r es menor que b y mayor que una región.
Si miramos esa región, estamos hablando de esta parte, y en esta parte, digamos que nuestro punto de interés se encuentra ahora en algún lugar por aquí. Una vez más, elegimos un bucle cerrado. En este caso, llamemos a este como c2, que coincide con la línea de campo magnético que pasa por el punto de interés p. Ahora se encuentra en esta región.
Y para esa región, esta es nuestra región exterior de la cáscara cilíndrica que lleva la corriente i sub b al plano. Ahora, para esta región, de nuevo, cuando elegimos este bucle que coincide con la línea de campo que pasa por ese punto, satisfará las condiciones para aplicar la ley del amperio, y por lo tanto, el lado izquierdo de la ley del amperio será idéntico a la parte anterior, y nos dará la nota b dl integrada sobre el bucle c2, que es igual a neu0 i incluido. El lado izquierdo nos dará, de nuevo, b por 2 pir. Por supuesto, ahora, la distancia, pequeña r, es la distancia desde el centro hasta este punto para esta región.
Y el lado derecho, para este caso, ahora vamos a mirar la corriente neta que pasa a través de la región rodeada por el bucle c2, en otras palabras, el área rodeada por el bucle c2, y esa es esta área sombreada de color amarillo, y cuando miramos esa superficie vemos que toda la corriente que fluye a través del cilindro interno está pasando a través de esta superficie, y por supuesto cualquier cosa fuera de esta superficie es de interés, y por lo tanto, en este caso, encerrada va a ser igual a simplemente la corriente que fluye a través del cilindro interno, que es sub a. Por lo tanto, en el lado derecho, tendremos neu0 veces i sub a, y resolviendo para el campo magnético tendremos neu0 i sub a sobre 2pir para esta región.
Por lo tanto, este es el caso, que r está entre b y a y para la parte anterior calculamos el campo magnético para la región de tal manera que r es menor que a.
Ahora sigamos adelante y calculemos el campo magnético dentro de la otra carcasa cilíndrica. Por lo tanto, en este caso, estamos hablando de b en la región donde r está entre c y b.
En otras palabras, ahora estamos interesados en la región interior de esta otra cáscara cilíndrica. Supongamos que en este caso nuestro punto de interés está por aquí.
Ahora de nuevo elegimos nuestro bucle empírico de tal manera que coincida con la línea de campo que pasa a través de ese punto, por lo tanto, va a ser, de nuevo, en forma de círculo, y su radio, r, ahora se mide desde el centro, apuntando a esto .
Ahora llamemos a este bucle como c3. De nuevo, los cálculos del lado izquierdo serán similares a las partes anteriores. Este bucle cumplirá las condiciones para aplicar la ley de Ampere. La magnitud del campo magnético será constante en todas partes a lo largo de este bucle, y el ángulo entre b y dl será 0.
Por lo tanto, la ley de Ampere, que es b punto dl, integrado sobre bucle c3 igual a neu0 que encerré, eventualmente nos dará, para el lado izquierdo, igual que el anterior, nos dará d veces dpir, y en el lado derecho tendremos neu0 veces que encerré.
Ahora estamos hablando de la corriente neta que pasa a través del área rodeada por el bucle c3. Si miramos esa área, veremos que, en primer lugar, estamos hablando de esta área aquí, esta área sombreada en azul, en esa región vemos que todo el cilindro interno, o la corriente que fluye a través del cilindro interno, pasará a través de esa área, y para la otra cubierta cilíndrica vemos que solo esta sección del cilindro contribuirá al campo magnético, porque la corriente que fluye a través de la región que es nuestro lado de esta superficie específica es de interés.
Por lo tanto, dado que i sub a fluye fuera del plano, y i sub b fluye hacia el plano, la corriente neta va a ser básicamente la diferencia entre estas dos corrientes. Así que podemos expresar que encerré como sub a, vamos a elegir esta dirección, nuestra dirección del plano como positiva, y que se mueve fuera del plano, que es positiva, y la otra es la fracción de la corriente que se mueve hacia el plano y para expresar esa necesitamos expresar ahora la densidad de corriente asociada con la capa exterior, que es la corriente total que fluye a través de esa capa, y que es i sub b, dividida por el área de la sección transversal total del conductor, estamos hablando de la capa exterior, y el área de la sección transversal total de esa capa cilíndrica exterior es el área de esta gran cilindro menos el área de este pequeño cilindro.
En otras palabras, será igual a pic cuadrado menos pib cuadrado, y esa parte, esta expresión, será igual a la densidad de corriente del cilindro exterior.
Y esta densidad multiplicada por el área de interés nos dará la corriente neta que fluye a través de esa área. Por lo tanto, en otras palabras, si tomamos el producto de la densidad de corriente con esta región sombreada azul, el área de la región sombreada, debo decir, entonces obtendremos la corriente neta que fluye a través de esa superficie, y eso es básicamente pir cuadrado menos pib cuadrado.
Bien. Podemos simplificar esta expresión escribiéndola como encerrada es igual a i sub a menos i sub b sobre paréntesis pi c cuadrado menos b cuadrado por pi por r cuadrado menos b cuadrado.
Aquí el pis se cancelará, y por lo tanto adjunto será igual a esta cantidad. Entonces b multiplicado por 2 pir será igual a neu0 multiplicado por i encerrado y es decir, sub a menos r cuadrado menos b cuadrado, sub b dividido por c cuadrado menos b cuadrado.
Para obtener el campo magnético, dejamos esa cantidad sola en el lado izquierdo de la ecuación, por lo tanto, b será igual a neu0 sobre 2 pir por i sub a menos i sub b por r cuadrado menos b cuadrado, dividido por c cuadrado menos b cuadrado es igual a paréntesis.
Así que dentro de la carcasa cilíndrica exterior, la magnitud del campo magnético será igual a esta cantidad. Por supuesto, la dirección, la dirección neta del campo magnético, ya sea en sentido horario o antihorario, depende de la magnitud de estas corrientes, y esto es para la región que r está entre c y b.
La última región es la región exterior de este cable coaxial. Así que volvemos a nuestro diagrama, entonces estamos hablando de que nuestro punto de interés se encuentra en algún lugar por aquí, y de nuevo, eligiendo un bucle empírico, que pasa a través del punto de interés y coincide con la línea de campo que pasa a través de ese punto, el punto p, y esa es la distancia r del centro.
El lado izquierdo de la ley del Amperio, llamemos a este bucle como c4, la ley del Amperio para este caso será la nota b dl integrada sobre el bucle c4, que se llamará neu0 veces encerrada, y el lado izquierdo, de nuevo, será similar a las partes anteriores, lo que nos dará b por 2 pir, y eso será igual a, para el cerrado ahora, veremos nuestro diagrama, estamos hablando de la corriente neta que pasa a través del área rodeada por ahora, toda esta región y está rodeado por el bucle c4, del que estamos hablando de toda esta región, y podemos ver fácilmente que la corriente que pasa a través del cable coaxial pasa a través de este punto, a través de esta superficie, y es que i sub a sale del plano y i sub b entra en el plano.
Como resultado de esto, la corriente neta que pasa a través del área rodeada por el bucle empírico c4 será igual a i sub a menos i sub b ya que fluyen en direcciones opuestas, por lo tanto, en el lado derecho tendremos neu0 veces i sub a menos i sub b, y resolviendo para el campo magnético, vamos a terminar con la expresión final de neu0 2pir veces i sub a menos i sub b.
Y este es el campo magnético generado fuera de este cable coaxial. Eso es para la región que r es mayor que c.
Bien. Bueno, si i sub a es igual a i sub b, si estas dos corrientes, que son iguales en magnitud ya que fluyen en direcciones opuestas, entonces encerrada va a ser igual a 0. Significa que el campo magnético fuera del cable coaxial será 0 para la región r mayor que c.