INTRODUCCIÓN
El alcantarillado se puede definir como la evacuación de aguas residuales rápidamente y lejos de áreas pobladas y distritos comerciales sin estancamiento en las tuberías. El mejor diseño de sistemas de evacuación de alcantarillado comienza por estudiar los parámetros que afectan a sus operaciones, incluidos los técnicos, ambientales y económicos (McGhee y Steel, 1991).
El flujo en el sistema de recolección generalmente se considera uniforme y constante. Este tipo de flujo ha sido investigado extensamente por varios investigadores, donde se han propuesto varios enfoques, incluidos métodos gráficos (Camp, 1946; Chow, 1959; Swarna y Modak, 1990), soluciones semi-gráficas (Zeghadnia et al., 2009) y nomogramas (McGhee y Steel, 1991) o tablas (Chow, 1959). Sin embargo, esos enfoques se suelen considerar limitados y la mayoría de ellos se aplican únicamente a condiciones limitadas. Las soluciones numéricas suelen preferirse en la práctica, pero son difíciles de aplicar y deben someterse a procedimientos de prueba y errores relativamente largos.
Varios investigadores han intentado proponer ecuaciones explícitas para el cálculo de la profundidad normal (Barr y Das, 1986; Saatci, 1990; Swamee y Rathie, 2004; Achour y Bedjaoui, 2006). Otros autores prefieren simular el flujo presurizado como flujo de superficie libre utilizando el Método de ranura de Preissmann, por lo tanto, pueden modelar la transición del flujo de superficie libre al estado sobrecargado y viceversa (Cunge et al., 1980; García-Navarro et al., 1994; Capart et al., 1997; Ji, 1998; Trajkovic et al., 1999; Ferreri et al., 2010).
La mayoría de la investigación en esta área está muy centrado en la determinación de los parámetros de flujo, sin mirar el rendimiento del flujo dentro de la tubería. El concepto de tubería eficiente no se ha discutido explícitamente anteriormente. Los autores piensan que esta es la primera vez que esta idea se ha utilizado en el cálculo directo de tuberías que debería atraer el interés de investigadores y diseñadores por igual. La eficiencia del flujo, por lo tanto, la eficiencia de la tubería se introduce como una característica medible. En consecuencia, la tubería fluirá con el máximo uso de la superficie del agua, i. e., explotando plenamente su superficie respetando los requisitos técnicos, especialmente en términos de velocidad.
En este estudio arrojaremos algo de luz sobre ciertas consideraciones técnicas importantes con respecto a la determinación de parámetros hidráulicos y geométricos de tuberías parcialmente llenas. El análisis tiene en cuenta otros parámetros como la pendiente, el diámetro, la velocidad y la eficiencia del flujo de la tubería utilizando soluciones explícitas. Además, se discutirán las limitaciones de las soluciones propuestas.
ECUACIÓN DE MANNING
Las tuberías circulares son ampliamente utilizadas para sistemas de recolección de aguas residuales sanitarias y aguas pluviales. El diseño de las redes de alcantarillado se basa generalmente en el modelo de Manning (Manning, 1891), donde la sección de flujo está parcialmente llena. La fórmula de manning se usa comúnmente en la práctica y se supone que produce los mejores resultados cuando se aplica correctamente (Saatci, 1990; Zeghadnia et al., 2014a, b). El uso del modelo de dotación asume que el flujo es constante y uniforme, donde la pendiente, el área de flujo de la sección transversal y la velocidad no están relacionados con el tiempo y son constantes a lo largo de la longitud de la tubería que se analiza (Carlier, 1980). La fórmula de Manning (Manning, 1891) utilizada para modelar el flujo de superficie libre se puede escribir de la siguiente manera:
o
Donde:
Las ecuaciones 1 y 2 se pueden escribir como funciones del ángulo de la superficie del agua que se muestra en la Fig. 1 como sigue:
De la Fig. 1:
| Fig. 1: | ángulo de la superficie del Agua |
Donde:
| D | : | diámetro de la Tubería (m) |
| r | : | Tubo de radio: |
| P | : | Perímetro mojado (m) |
| θ | : | Ángulo de la superficie del agua (Radián) |
Las ecuaciones 3 y 4 para valores conocidos de flujo Q, rugosidad n, pendiente S y diámetro D se pueden resolver solo después de una serie de iteraciones largas (Giroud et al., 2000). La ecuación 4 se puede sustituir por la Ec. 8 (Zeghadnia et al., 2009):
Donde:
por lo Tanto:
Ecuación 5 y 7 presentan las nuevas formas de la siguiente manera:
METODOLOGÍA
Estimación de la eficiencia volumétrica o de circulación: Con el fin de simplificar el cálculo, el cálculo del diámetro de la tubería se realiza con frecuencia con el supuesto de que la tubería fluye apenas llena (bajo presión atmosférica). Tanto el flujo como la velocidad de flujo pueden tener valores máximos que corresponden a cierto nivel de agua en la tubería (Camp, 1946). Por debajo o por encima de este nivel, los valores de caudal o velocidad disminuyen, lo que significa que la tubería no fluye con su máxima eficiencia. Para un mejor diseño hidráulico de los sistemas de recolección de aguas residuales sanitarias y pluviales, no es suficiente determinar el diámetro que produce una velocidad de flujo aceptable, sino que también es necesario determinar el mejor diámetro que permite una mayor eficiencia y garantizar que la tubería esté completamente explotada. Para estimar la eficiencia volumétrica de la tubería, proponemos el fluir de la ecuación:
Donde:
| Qef | : | la eficiencia Volumétrica (%) |
| Qmax | : | caudal Máximo (m3 / s-1) |
| qr | : | el Flujo en la tubería (m3 / s-1) |
Y para calcular la circulación de la eficiencia en la tubería, proponemos la fórmula que fluye:
Donde:
| Vef | : | la Circulación de la eficiencia (%) |
| Vmax | : | velocidad Máxima (m2 seg-1) |
| Vr | : | la Velocidad en la tubería (m2 seg-1) |
| Fig. 2: | Eficiencia volumétrica y de circulación en tubería circular |
Las eficiencias volumétricas y de circulación se pueden explicar mejor utilizando la representación gráfica que se muestra en la Fig. 2.
La figura 2 muestra que la eficiencia volumétrica o de circulación depende del nivel de llenado de la tubería y no varían de la misma manera.
Para 0 ° ≤θ≤40°, la eficiencia volumétrica es prácticamente cero, mientras que para 40 ° ≤θ≤180°, es inferior al 50%. Para θ = 185°, la eficiencia es igual al 50% y alcanza su valor máximo, Qef 1 100%, a θ = 308°. Para 308 ° ≤θ≤360°, la eficiencia volumétrica disminuye hasta alcanzar un valor de 93,09%.
Por otro lado, la variación de la eficiencia de circulación es más rápida que la eficiencia volumétrica. Para 0 ° ≤θ≤40° , la eficiencia de circulación puede alcanzar el 20% y para 40°≤θ≤180°, la eficiencia alcanza el 85%. La eficiencia de circulación alcanza su valor máximo, Vef 1 100%, a θ = 257°. Para 257 ° ≤θ≤360°, la eficiencia de circulación disminuye hasta alcanzar un valor de 87,74%. En el cuadro 1 se presentan más detalles sobre la variación de ambas eficiencias como funciones de θ.
| Tabla 1: | Eficiencia volumétrica y de circulación en función del ángulo de la superficie del agua |
Usando la Ec. 12 y 13, encontramos que Qef = 58,59 y Vef = 67,68%. Por lo tanto, esta tubería no es lo suficientemente eficiente tanto en términos de volumen como de circulación. En este ejemplo, aunque la velocidad es técnicamente aceptable, esta tubería no fluye de manera eficiente. Por lo tanto, necesitamos encontrar una mejor solución para asegurar una alta eficiencia de la tubería, que se discutirá en las siguientes secciones.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Eficiencia volumétrica máxima: La eficiencia se discute en los siguientes párrafos en términos de ocupación de volumen de tubería. Cuanto más alto es el último, más eficiente es el tubo.
Condición de flujo máximo: Cuando el área de flujo de sección transversal A aumenta, alcanza su valor máximo «Amax» con una eficiencia volumétrica máxima en θ = 308.3236 (Zeghadnia et al., 2009). De Eq. 3:
Para una tubería que fluye llena, el flujo » Q » se expresa de la siguiente manera:
Cuando combinamos la Ec. 14 y 15 obtenemos lo siguiente:
La ecuación 16 presenta la relación entre el flujo para tubería llena y el flujo máximo que, para cualquier sección, solo es posible si se logra la siguiente condición (Carlier, 1980):
donde, (P es el perímetro mojado):
Si sustituimos el perímetro mojado «P, el área de flujo de la sección transversal A» y sus derivados en la Ec. 17, obtenemos lo siguiente:
Si combinamos la Eq. 7 y 20, luego la Ec. 1 se convierte en:
De Ec. 21, el perímetro mojado se puede reescribir de la siguiente manera:
Combinando la Ec. 6 y 22, obtenemos los siguientes:
Ecuación 23 también se puede escribir como sigue:
El uso de Eq. 24 para calcular el diámetro, para el flujo máximo es simple y directo cuando se conocen la rugosidad n y la pendiente S.
En el caso de que la pendiente S sea desconocida, la Ec. 25 da una solución explícita, si se conocen el flujo Q, la rugosidad n y el diámetro D.
Límites de velocidad de flujo: Combinando la ecualización. 2, 7 y 20 que obtenemos:
Si sustituimos la expresión perimetral mojada dada en la Ec. 22, en Ec. 26, obtenemos lo siguiente:
La combinación entre Ec. 24 y 27 produce:
De Ec. 27, el área de sección transversal A se puede reescribir de la siguiente manera:
Llamamos » RR » la tasa de resistencia que se puede calcular usando la Ec. 27 o 28 para los valores máximo y mínimo de la velocidad de flujo, respectivamente. Las ecuaciones 27 y 28 se aplican solo para el rango de valores de las Tablas 2 y 3 en los que la velocidad de flujo varía entre 0,5 m sec-1≤V≤ 5 m sec-1 (Satin y Selmi, 2006). En la práctica, los diámetros de tubería oscilan generalmente entre: 10 mm≤D≤ 2100 mm.
Las Tablas 2 y 3 presentan las soluciones para Ec. 27 y 28. Al comparar las velocidades de flujo en las Tablas 2 y 3, podemos concluir que la tasa de resistencia RR influye notablemente en estos valores. Para diámetros que varían en rango entre 10 mm≤D≤ 250 mm, el valor mínimo de RR no debe ser inferior a 0,4. Esto produce una variación en el flujo en el rango dado por la siguiente relación:
| Tabla 2: | Límites de velocidad de flujo en función del diámetro y el caudal para el valor mínimo de RR = 0,4 y 10 mm≤D≤ 250 mm |
| Cuadro 3: | Límites de velocidad de flujo en función del diámetro y el caudal para el valor máximo de RR =1 y 10 mm≤D≤ 250 mm |
El mismo rango de diámetro acepta otro límite como valor de flujo máximo para RR = 1. Esto genera el siguiente rango de valores de flujo:
| Tabla 4: Límites de velocidad de flujo | en función del diámetro y el caudal para RR(min) mínimo = 1,05, 315 mm≤D≤ 2100 mm |
Si ampliamos el rango de variación de diámetro: 315 mm≤D≤ 2100 mm si bien mantenemos la condición de velocidad de flujo indicada anteriormente, obtenemos los siguientes resultados que se muestran en las Tablas 4 y 5. Estos últimos presentan la variación de los valores de caudal en función del diámetro y de los valores límite de RR. Podemos resumir la variación de flujo de acuerdo con la variación de RR de la siguiente manera:
| • | Para el valor mínimo de RR = 1,05, el flujo varía, de acuerdo con los resultados de la Tabla 4 de la siguiente manera: |
Para el valor máximo de RR = 4.64, el flujo varía, de acuerdo con los resultados de la Tabla 5 de la siguiente manera:
Otros resultados podrían obtenerse fácilmente utilizando diferentes valores de RR dentro de sus límites aceptados.
Eficiencia de circulación máxima: En esta sección, la eficiencia de la tubería se trata en función de la circulación del flujo. Observamos la variación de la eficiencia de la circulación desde diferentes niveles. A continuación presentaremos cómo obtener el máximo aprovechamiento de la tubería.
Condición de velocidad de flujo máxima: El flujo en condiciones de velocidad de flujo máxima es importante en el drenaje de la red de alcantarillado. En estos tipos de condición de flujo, es imperativo verificar la siguiente condición (Carlier, 1980):
Donde:
| P | : | Perímetro mojado (m) |
| A | : | Área de flujo de sección transversal (m2) |
| Tabla 5: Límites de velocidad de flujo | en función del diámetro y el flujo para RR máximo (max) = 4,64. 315 mm≤D≤2100 mm |
La combinación entre la Eq. 18, 19 y 30 da lo siguiente:
La ecuación 31 se puede resolver iterativamente. El uso del Método de Bisección (Andre, 1995) da los siguientes resultados (donde el error absoluto es igual a 10-6): θ = 257, 584:
De Ec. 6, 10 y 32 y después de muchas simplificaciones obtenemos la siguiente ecuación:
Por lo tanto, la Ec. 10 se pueden reescribir de la siguiente manera:
| Tabla 6: | Límites recomendados de velocidad de flujo en función del diámetro y el caudal para: RR (min) = 0,5 y 10 mm≤D≤2100 mm |
La ecuación 33 para flujo conocido Q, rugosidad n y pendiente S, da una solución explícita para el diámetro. La pendiente S también se puede calcular directamente por Ec. 35 si el flujo Q, la rugosidad n y el diámetro D son parámetros conocidos:
De acuerdo con la Ec. 34, es fácil deducir que la velocidad de flujo es igual a la relación de raíz cuadrada de la pendiente y la rugosidad de la siguiente manera:
De Ec. 36 y a primera vista podemos concluir que la velocidad de flujo depende solo de la pendiente y la rugosidad. Esto es cierto en este caso. Sin embargo, esta conclusión debe estar relacionada con otra realidad, que esta fórmula está condicionada por el grado de plenitud en el tubo que significa el diámetro utilizado en la Ec. 36 se debe calcular usando la Ec. 33 en primer lugar.
Límites recomendados: El modelo de flujo propuesto en condiciones de velocidad máxima se rige por límites de velocidad de flujo que producen una sucesión de límites de los demás parámetros: Flujo, pendiente y rugosidad de tubería para el rango de valores presentados en la Tabla 6 y 7:
| Tabla 7: | Límites recomendados de velocidad de flujo en función del diámetro y el caudal para: RR (máx.) = 5 y 10 mm≤D≤2100 mm |
A partir de los valores de los parámetros mostrados en las Tablas 6 y 7, podemos concluir fácilmente que la tasa de resistencia RR es un parámetro importante, donde puede permitir la ampliación o el estrechamiento del rango de validez. En el caso de velocidad máxima, las ecuaciones de aplicabilidad se pueden presentar de la siguiente manera:
| • | CFor valor mínimo de RR = 0,5 y para un rango de diámetros de 10 mm≤D≤ 2100 mm, el flujo varía de la siguiente manera: |
| • | Si RR = 5 y 10 mm ≤D≤ 2100 mm, el caudal varía de la siguiente manera: |
A partir de lo anterior y de manera similar al caso del flujo bajo condición de velocidad máxima o flujo máximo, es imperativo respetar la variación de la tasa de resistencia RR que da posteriormente valores aceptables para la velocidad de flujo y el flujo deseado no necesario, porque cada rango de RR genera un rango de flujo diferente. El rango de valores de flujo se da de la siguiente manera:
| • | Caso de flujo max: |
O:
| • | el Caso de la velocidad max: |
tomemos práctica en el campo de los escenarios a través de los siguientes dos ejemplos.
Ejemplo 1: Una tubería con coeficiente de dotación n = 0,013, pendiente S = 0,02%, transporta un caudal de 1,05 m3 seg-1. Calcule el diámetro de la tubería para obtener la máxima eficiencia volumétrica.Solución
: Primero debemos comprobar si se respeta el valor de la tasa de resistencia RR para poder utilizar el modelo:
La tasa de resistencia pertenece al rango permitido. De las Tablas 3 y 4, podemos concluir que el diámetro varía de la siguiente manera:
Comprobación del rango de flujo: Desde la Ec. 24 es fácil de calcular QD = 315 mm y QD = 2100 mm.
Q pertenece al rango permitido.
De la Ec. 24 el diámetro se calcula como:
Comprobación de la velocidad de flujo: Desde la Ec. 27 obtenemos lo siguiente:
El valor de velocidad de flujo es aceptable, el mismo para el diámetro que producirá, con los otros parámetros, el flujo máximo (Que corresponde al grado de plenitud Qmax).
Ejemplo 2: Utilicemos los mismos datos del ejemplo anterior para calcular el nuevo diámetro en caso de máxima eficiencia de circulación de flujo en tubería.Solución
: Comprobación del rango de RR permitido:
Por lo tanto, el diámetro varía de la siguiente manera:
Comprobación del rango de caudal: Ec. 33 permite el cálculo de QD = 10 mm y QD = 2100 mm.
Por lo tanto, el flujo está dentro del rango permitido.
Cálculo del diámetro de la tubería a partir de la Ec. 33 el diámetro de la tubería es igual a:
De lo anterior, el diámetro de la tubería D es un parámetro conocido, la velocidad de flujo depende solo de la pendiente S y la rugosidad n y de la Ec. 36 obtenemos lo siguiente:
La velocidad de flujo está dentro del rango aceptable.
CONCLUSIÓN
Se propone una nueva concepción del diseño de flujo parcialmente completo en tubería circular utilizando el nuevo concepto de eficiencia volumétrica y de circulación. Se consideran dos tipos de flujo: Flujo bajo condición de flujo máximo y flujo bajo velocidad máxima, respectivamente. Estos son criterios importantes para la evacuación de aguas residuales. Para ambos casos, se han elaborado soluciones directas y fáciles para calcular el diámetro de la tubería, la velocidad de flujo y la pendiente. En la primera, el diámetro y la pendiente se pueden calcular con la Ec. 24 y 25. Para el segundo caso de Ec. se recomiendan 33 y 35. Para cada caso es posible el cálculo de la velocidad de flujo.
También se ha discutido la limitación de la gama de soluciones. Las ecuaciones propuestas se elaboran para obtener una alta eficiencia de flujo en tuberías circulares, cumpliendo con los requisitos técnicos.
RECONOCIMIENTO
A los escritores les gustaría agradecer al profesor Jean-Loup Robert, de la Universidad Laval, Canadá, por su apoyo y consejos técnicos.
NOTACIÓN
| Q | : | Caudal en m3 / s-1 |
| Hr | : | radio Hidráulico |
| n | : | Tubería de rugosidad coeficiente de Manning n) |
| Un | : | de la sección Transversal de flujo de área |
| S | : | La pendiente de la tubería inferior, adimensional |
| V | : | la velocidad de Flujo m seg-1 |
| r | : | Tubo de radio, vamos a: r = D/2 |
| D | : | Diámetro de la tubería |
| P | : | Contacto perímetro |
| θ | : | ángulo de la superficie del Agua |
| Qef | : | la eficiencia Volumétrica |
| Qmax | : | Caudal máximo de |
| qr | : | el Flujo en la tubería |
| Vef | : | la Circulación de la eficiencia |
| Vmax | : | Velocidad max |
| Amax | : | la Velocidad en la tubería |
| Amax | : | área de la sección Transversal corresponden a Qmax |
| Qp | : | Flujo en toda la sección |
| θQmax | : | Agua ángulo de la superficie corresponden a Qmax |
| RR | : | Resistencia a la tasa de |