Notación: En un mundo ideal, usaría α, β, γ respectivamente para los coeficientes de expansión lineal, de área y de volumen. Desafortunadamente necesitamos γ para la relación de capacidades de calor. Muchas personas usan β para la expansión de volumen, así que seguiré eso. ¿Qué, entonces, usar para la expansión de área? Usaré b, así que ahora tenemos α, b, β, que es muy torpe. Sin embargo, rara vez necesitaremos a b, así que tal vez podamos sobrevivir.
Coeficiente de expansión lineal: α
Coeficiente de expansión del área: b
Coeficiente de expansión de volumen: β
Para rangos pequeños de temperatura, los aumentos de longitud, área y volumen con temperatura pueden representarse mediante
\ \]
\ \]
y
\ \]
Para cristales anisotrópicos, el coeficiente puede ser diferente en diferentes direcciones, pero para materiales isotrópicos podemos escribir
\^{2}=A_{1} \ left \]
\^{3}=V_{1} \ left\]
Por lo tanto, para expansiones pequeñas, \ (\hat{b} \approx 2 \tilde{\alpha}\) y \( \widehat{\beta} \approx 3 \hat{\alpha}\).
Ecuaciones 13.1.1, 2 y 3 definen los coeficientes aproximados en un rango de temperatura finito. Los coeficientes a una temperatura determinada se definen en términos de los derivados, es decir,
\
\
\
Las relaciones b = 2α y β = 3α son exactas.
Especificamos «a presión constante» porque obviamente no queremos, en nuestra definición, evitar que el material se expanda aumentando la presión sobre él cuando lo calentamos.
Para sólidos, el coeficiente de expansión lineal suele ser el parámetro apropiado; para líquidos y gases, el coeficiente de volumen suele ser apropiado. Para los metales comunes más conocidos, el coeficiente de expansión lineal es de orden 10-5 K−1. Aleaciones como la aleación de níquel-acero, «invar», utilizada en la construcción de relojes, pueden tener coeficientes mucho más pequeños. El vidrio ordinario tiene un coeficiente solo un poco menor que el de los metales; el pyrex y el cuarzo fundido tienen una expansión mucho menor, de ahí su uso en espejos telescópicos. Para líquidos y gases, generalmente se cita el coeficiente de volumen. El coeficiente de volumen de mercurio es de aproximadamente 0,00018 K-1. El agua en realidad se contrae entre 0 y 4 oC, y se expande por encima de esa temperatura. El coeficiente de volumen de aire a 0 oC es de 0,0037 K-1.
A temperatura ambiente y superior, el coeficiente de expansión lineal de los metales no varía mucho con la temperatura, pero a bajas temperaturas el coeficiente de expansión varía mucho más rápidamente con la temperatura, al igual que la capacidad calorífica específica (ver Sección 8.10). De hecho, para un metal dado, la variación del coeficiente de expansión y la capacidad calorífica específica varían con la temperatura de una manera bastante similar, de modo que, para un metal dado, la relación α/CP es constante en un amplio rango de temperaturas.
Ejercicio: Una placa de metal cuadrada tiene un orificio circular de área de 300 cm2 en el centro de la misma. Si el coeficiente de expansión lineal es de 2 × 10-5 Cº−1, calcule el área del orificio cuando la temperatura de la placa se eleve a 100 grados.
Ejercicio: Mostrar que el coeficiente de expansión de volumen de un gas ideal es 1 / T. Compare esto con el valor numérico para el aire dado anteriormente.
Aunque la termodinámica clásica no se ocupa de procesos microscópicos detallados, es interesante preguntarse por qué un material sólido se expande al calentarse. Imaginemos un sólido cristalino compuesto de átomos conectados entre sí por pequeños resortes, y cada resorte se rige por la Ley de Hooke, y en consecuencia, cada átomo vibra en un pozo de potencial parabólico y se mueve en un movimiento armónico simple. Si aumentamos la temperatura, aumentamos la amplitud de las vibraciones, pero no cambiamos las posiciones medias de los átomos. En consecuencia, en un modelo de este tipo, no esperaríamos ninguna expansión al calentar. Sin embargo, el potencial real no es parabólico, sino que tiene una forma, al menos cualitativamente, similar a los potenciales de Lennard-Jones o Morse mencionados en el Capítulo 6, Sección 6.8. Si el material se calienta, la amplitud de las vibraciones aumenta, y, debido a los términos de orden superior en el potencial, que le dan al potencial su forma asimétrica anarmónica, la separación media de los átomos efectivamente aumenta, y así tenemos expansión. Por lo tanto, la expansión al calentar un material sólido es una consecuencia de la anarmonía de las vibraciones atómicas y la asimetría del potencial en el que se mueven.
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\
Resumen
En general, si la longitud en T1 es l1, la longitud l2 en T2 vendrá dada por
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En el caso de que dl / dT sea constante, de modo que \(\alpha= \ frac {\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}\), esto se convierte en
\
En el caso en que α es constante, se convierte en
\
Así, para el primer orden de pequeñas cantidades, todas las variedades de α son iguales.
Coeficiente de Expansión como Cantidad de Tensor. En el capítulo 4, mencioné brevemente que, en el caso de un cristal anistrópico, el coeficiente de conducción térmica es una cantidad de tensores. Lo mismo es cierto, para un cristal anisotrópico, del coeficiente de expansión. Por lo tanto, si, durante un examen de física, se le pidió que diera ejemplos de cantidades de tensores, podría darlos como ejemplos, ¡aunque un pequeño riesgo podría estar involucrado si su maestro no hubiera pensado en estos como tensores! El coeficiente de expansión de un cristal anisotrópico puede variar en diferentes direcciones. (En Islandia, carbonato cálcico – en una dirección, el coeficiente es realmente negativo. Si corta un cristal anisotrópico en forma de cubo, cuyos bordes no son paralelos al eje cristalográfico, la muestra, al calentarse, no solo se expandirá en volumen, sino que cambiará de forma para convertirse en un paralelepípedo no rectangular. Sin embargo, es posible cortar el cristal en forma de cubo de forma que, al calentarse, la muestra se expanda a un paralelepípedo rectangular. Los bordes del cubo (y el paralelepípedo resultante) son paralelos a los ejes principales de expansión, y los coeficientes en estas direcciones son los coeficientes principales de expansión. Estas direcciones serán paralelas a los ejes cristalográficos si el cristal tiene uno o más ejes de simetría (pero obviamente no de otra manera)