Órbitas circulares

El comportamiento detallado de las órbitas reales es la preocupación de la mecánica celeste (ver el artículo mecánica celeste). Esta sección trata solo la órbita circular uniforme e idealizada de un planeta como la Tierra alrededor de un cuerpo central como el Sol. De hecho, la órbita de la Tierra alrededor del Sol no es exactamente uniformemente circular, pero es una aproximación lo suficientemente cercana para los propósitos de esta discusión.

Un cuerpo en movimiento circular uniforme experimenta en todo momento una aceleración centrípeta dada por la ecuación (40). De acuerdo con la segunda ley de Newton, se requiere una fuerza para producir esta aceleración. En el caso de un planeta en órbita, la fuerza es la gravedad. La situación se ilustra en el gráfico 9. La atracción gravitacional del Sol es una fuerza interna (centrípeta) que actúa sobre la Tierra. Esta fuerza produce la aceleración centrípeta del movimiento orbital.

Antes de que estas ideas se expresen cuantitativamente, es útil comprender por qué se necesita una fuerza para mantener un cuerpo en una órbita de velocidad constante. La razón es que, en cada instante, la velocidad del planeta es tangente a la órbita. En ausencia de gravedad, el planeta obedecería la ley de inercia (la primera ley de Newton) y volaría en línea recta en la dirección de la velocidad a velocidad constante. La fuerza de gravedad sirve para superar la tendencia inercial del planeta, manteniéndolo así en órbita.

La fuerza gravitacional entre dos cuerpos, como el Sol y la Tierra, viene dada por

donde MS y ME son las masas del Sol y de la Tierra, respectivamente, r es la distancia entre sus centros, y G es una constante universal igual a 6.674 × 10-11 Nm2 / kg2 (Newton metros cuadrados por kilogramo cuadrado). La fuerza actúa a lo largo de la dirección que conecta los dos cuerpos (es decir, a lo largo del vector de radio del movimiento circular uniforme), y el signo menos significa que la fuerza es atractiva, actuando para tirar de la Tierra hacia el Sol.

Para un observador en la superficie de la Tierra, el planeta parece estar en reposo a (aproximadamente) una distancia constante del Sol. Por lo tanto, al observador le parecería que cualquier fuerza (como la gravedad del Sol) que actúa en la Tierra debe estar equilibrada por una fuerza igual y opuesta que mantenga a la Tierra en equilibrio. En otras palabras, si la gravedad está tratando de atraer a la Tierra hacia el Sol, alguna fuerza opuesta debe estar presente para evitar que eso suceda. En realidad, no existe tal fuerza. La Tierra está en movimiento libremente acelerado causado por una fuerza desequilibrada. La fuerza aparente, conocida en mecánica como pseudofuerza, se debe al hecho de que el observador está en movimiento acelerado. En el caso del movimiento orbital, la pseudofuerza externa que equilibra la gravedad se llama fuerza centrífuga.

Para una órbita circular uniforme, la gravedad produce una aceleración hacia adentro dada por la ecuación (40), a = −v2/r. La pseudofuerza f necesaria para equilibrar esta aceleración es igual a la masa de la Tierra por una aceleración igual y opuesta, o f = MEv2/r. El observador conectado a la tierra cree entonces que no hay una fuerza neta que actúe en el planeta, es decir., que F + f = 0, donde F es la fuerza de gravedad dada por la ecuación (41). Combinando estas ecuaciones se produce una relación entre la velocidad v de un planeta y su distancia r del Sol:

cabe señalar que la velocidad no depende de la masa del planeta. Esto ocurre exactamente por la misma razón que todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración y que el período de un péndulo es independiente de su masa. Un planeta en órbita es de hecho un cuerpo que cae libremente.

La ecuación (42) es un caso especial (para órbitas circulares) de la tercera ley de Kepler, que se discute en el artículo mecánica celeste. Usando el hecho de que v = 2nr / T, donde 2nr es la circunferencia de la órbita y T es el tiempo para hacer una órbita completa (es decir, T es un año en la vida del planeta), es fácil demostrar que T2 = (4π2/GMS)r3. Esta relación también se puede aplicar a satélites en órbita circular alrededor de la Tierra (en cuyo caso, MS debe sustituirse por ME) o en órbita alrededor de cualquier otro cuerpo central.