Was ist ein Christoffel-Symbol?

Hier ist der beste Weg, um an die Christoffel-Symbole zu denken, zumindest für einen Anfänger.

Angenommen, Sie möchten wissen, ob / wie sich ein Vektor in Ihrer zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit, dh der Raumzeit, von einem Punkt zum anderen ändert. Mit anderen Worten, Sie möchten Ihr Vektorfeld unterscheiden. Es gibt zwei Gründe, warum Sie eine Änderung des Vektorfelds in Ihren Berechnungen registrieren können:

1. Der Vektor selbst könnte an einem Punkt tatsächlich anders sein als am anderen ODER
2. Der Vektor könnte an den beiden Punkten mit unterschiedlichen Basisvektoren beschrieben werden. (Wenn Sie eine Basis ändern, ändern sich die Komponenten der Dinge, die Sie beschreiben.)

Jede Änderung, die Sie im Wert des Vektors von einem Punkt zum anderen feststellen, kann aus einer oder beiden dieser Quellen stammen.

Der wichtige Punkt ist, dass Sie bei der Beurteilung, ob sich ein Vektor (Feld) geändert hat, während Sie in der Raumzeit von einem Punkt zum anderen gehen, etwas in Ihrer Mathematik benötigen, um die Tatsache zu berücksichtigen, dass sich Ihre Basis (dh Ihr Koordinatensystem) geändert hat auf dem Weg, zusätzlich zu allen Änderungen, die möglicherweise am tatsächlichen Vektor selbst aufgetreten sind.

Die gewöhnliche partielle Ableitung tut dies nicht. Es geht nur davon aus, dass sich die Basis nicht ändert. Im allgemeinsten Fall ändern sich jedoch die Basisvektoren. Um dies zu erklären, ersetzen wir die gewöhnliche partielle Ableitung durch die sogenannte kovariante Ableitung. Der Teil der Kovariantenableitung, der Änderungen verfolgt, die sich aus der Änderung der Basis ergeben, sind die Christoffel-Symbole. Sie kodieren, wie sehr sich die Basisvektoren ändern, wenn wir uns entlang der Richtung der Basisvektoren selbst bewegen.

Wie ist das in der Allgemeinen Relativitätstheorie nützlich? Dies liegt daran, dass GR die Schwerkraft als Krümmung der Raumzeit-Mannigfaltigkeit modelliert und Informationen über diese Krümmung in den Christoffel-Symbolen codiert sind.

Aber wenn die Christoffel-Symbole basisabhängig sind (und wir haben gerade gesagt, dass sie es sind – verschiedene Koordinatensysteme / Basisvektoren geben Ihnen unterschiedliche Werte für die Christoffel-Symbole), wie können sie Informationen über die Krümmung der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit geben, die unabhängig vom Koordinatensystem sein sollte?

Die Christoffel-Symbole geben die Krümmung nicht direkt an. Aus dem, was wir bisher gesagt haben, ist klar, dass sich die Basisvektoren nicht ändern dürfen, wenn wir von Punkt zu Punkt gehen, damit die Christoffel-Symbole identisch Null sind. Dies bedeutet, dass wir keine falschen Änderungen an unseren Vektorfeldern vornehmen, indem wir die Änderung der Basis nicht berücksichtigen.

Zwei wichtige Dinge zu erkennen:

1. Christoffel-Symbole ungleich Null bedeuten nicht, dass der Verteiler eine Krümmung aufweist. Dies bedeutet lediglich, dass Sie ein Basisvektorfeld verwenden, das die Länge und / oder Richtung von Punkt zu Punkt ändert. Ein häufiges Beispiel sind Polarkoordinaten im Flugzeug. Diese Basisvektoren ändern sich von Punkt zu Punkt, z. B. wird der Basisvektor in Theta-Richtung länger, je weiter Sie vom Ursprung in radialer Richtung entfernt sind. Dies bedeutet, dass Sie mindestens einige Christoffel-Symbole ungleich Null haben. Aber offensichtlich ist der Raum nicht gekrümmt.

   1. Verschwindende Christoffel-Symbole bedeuten nicht, dass der Raum keine Krümmung hat. Dies kann bedeuten, dass Sie sich entlang einer Flugbahn bewegen, die als geodätische Bahn bekannt ist. (Dies ist die Verallgemeinerung von Geraden durch gewöhnlichen flachen Raum, der der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ist.Das physische Gegenstück dazu ist der freie Fall.

Da die Christoffel-Symbole definieren wir eine kovariante Ableitung (dh. eine Ableitung, die berücksichtigt, wie sich die Basisvektoren ändern), ermöglicht es uns, den ‚parallelen Transport‘ eines Vektors zu definieren. Dh das Christoffel-Symbol sagt uns, was es bedeutet zu sagen, dass ein Vektor von einem Punkt zum anderen so verschoben wird, dass er ‚parallel zu sich selbst‘ bleibt. ‚Parallel zu sich selbst‘ bedeutet nur ‚kovariante Ableitung verschwindet‘.

Die Definition der Krümmung (zumindest eine davon) hängt von diesem parallelen Transportprozess ab, der durch die kovariante Ableitung ermöglicht wird, die wiederum durch die Christoffel-Symbole ermöglicht wird.

Die Grundidee ist, dass wir, wenn wir einen Vektor parallel über eine Schleife transportieren (dh zu unserem Ausgangspunkt zurückkehren), nicht unbedingt denselben Vektor haben, mit dem wir begonnen haben. Dies gilt, obwohl wir den Vektor ’selbstparallel‘ transportiert haben. Die entscheidende Tatsache für die Krümmung ist nicht nur, dass wir am Ende einen anderen Vektor haben, als wir angefangen haben (das kann bei Nullkrümmung passieren), sondern dass genau welcher Vektor wir am Ende haben, hängt von dem Weg ab, den wir eingeschlagen haben. Wenn Sie also einen Vektor ‚parallel zu sich selbst‘ entlang der Pfade a und b transportieren, erhalten Sie zwei verschiedene Vektoren ‚parallel‘ zu dem, mit dem Sie begonnen haben. Wenn das passiert, ist Ihr Raum per Definition gekrümmt.

Zusammenfassend kann der Unterschied zwischen einem flachen Raum und einem gekrümmten Raum folgendermaßen ausgedrückt werden: In einem flachen Raum ist es möglich, ein Koordinatensystem aufzubauen, in dem die Christoffel-Symbole überall verschwinden, dh wo die Basisvektoren sind an jedem Punkt gleich. In einem gekrümmten Raum ist dies unmöglich. Sie können nicht alle Christoffel-Symbole in einem gekrümmten Raum verschwinden lassen, ganz einfach, denn wenn Sie könnten, wäre es einfach nicht gekrümmt. Es wäre flach!

Was hat das alles mit Physik zu tun? Nun, Sie können sich die Schwerkraft als Folge der Krümmung der Raumzeit vorstellen, indem Sie Analogien zu Gummiplatten usw. verwenden. Aber ich finde es hilfreicher, an die Schwerkraft zu denken, die sich einfach aus dieser Notwendigkeit ergibt, zu korrigieren, wie die zugrunde liegende Raumzeit uns zwingt, verschiedene Basisvektoren an verschiedenen Punkten zu verwenden. In der Relativitätstheorie ist das physikalische Gegenstück zur Änderung der Basis die Änderung des Bewegungszustands. So wie Begriffe, die sich ausschließlich aus Änderungen der Basis ergeben, keine tatsächlichen Fakten über Vektoren widerspiegeln – nur Artefakte, wie wir Vektoren beschreiben -, spiegeln Begriffe, die sich aus Änderungen des Bewegungszustands ergeben, keine realen physikalischen Fakten wider.

Dies ist der Kern von Einsteins Erweiterung von Galileis revolutionärer Idee der Relativitätstheorie – dass die Gesetze der Physik sind, was sie sind, unabhängig von Ihrem Bewegungszustand. Alles, was von Ihrem Bewegungszustand abhängt, ist keine Tatsache, sondern ein Artefakt und sollte als solches abgetan werden. Dies führte Einstein (und andere) zu der Idee, dass die wahren Gesetze des Universums diejenigen sein sollten, die unabhängig vom Koordinatensystem / Bewegungszustand gelten. Die Christoffel-Symbole können als Terme in den Gleichungen gesehen werden, die es so machen, dass sie für alle Bewegungszustände gelten.

In gewissem Sinne können wir also sagen, dass die Existenz der Schwerkraft sowohl daraus folgt als auch impliziert, dass die Gesetze der Physik die gleichen sind, egal wie Sie sich bewegen, in dem Sinne, dass, wenn die Schwerkraft nicht so funktioniert, wie sie es tut, dann würden verschiedene Beobachter unterschiedliche Gesetze formulieren, abhängig von ihren parochialen Perspektiven (und umgekehrt).