Wenn #S# eine Menge von Objekten mit einer binären Operation #@# (z. B. Addition oder Multiplikation) ist, wird gesagt, dass sie genau dann unter #@# geschlossen wird, wenn #a@b in S# für alle #a, b in S#.
Das heißt, bei zwei beliebigen Elementen #a# und #b# von #S# gibt Ihnen der Ausdruck #a@b# ein weiteres Element von #S# .
Also zum Beispiel die Menge der geraden ganzen Zahlen #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… }# ist sowohl unter Addition als auch unter Multiplikation geschlossen, da Sie, wenn Sie zwei gerade ganze Zahlen addieren oder multiplizieren, eine gerade ganze Zahl erhalten.
Im Gegensatz dazu ist die Menge der ungeraden ganzen Zahlen unter Multiplikation geschlossen, aber nicht unter Addition.
Dies wird viel interessanter, wenn wir auch closure unter identity und inverse benötigen.
Zum Beispiel haben die rationalen Zahlen #QQ# die Eigenschaften:
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Geschlossen unter Addition #+# und Multiplikation #*#
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Enthält eine Identität #0 # für Addition und #1 # für Multiplikation.
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Additive Inversen für jedes Element enthalten.
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Enthält multiplikative Inverse für jedes Element ungleich Null.
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Verschiedene andere Eigenschaften, die darauf hinauslaufen, dass Addition und Multiplikation normal funktionieren (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität usw.).
Die rationalen Zahlen sollen ein Feld bilden.
Was passiert, wenn wir #sqrt(2)# zur Menge der rationalen Zahlen hinzufügen?
Es wird nicht mehr unter Addition oder Multiplikation geschlossen. Beispielsweise:
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Wenn Sie #sqrt (2) # eine rationale Zahl hinzufügen, erhalten Sie eine andere irrationale Zahl.
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Wenn Sie eine irrationale Zahl (außer # 0 # oder # 1 #) mit #sqrt (2) # multiplizieren, erhalten Sie eine andere irrationale Zahl.
Um es wieder geschlossen zu machen, müssen wir alle Zahlen des Formulars einschließen:
# a+bsqrt(2)#
wo #a, b in QQ#
Dann finden wir:
#( a + bsqrt(2)) + (c+ dsqrt(2)) = (a + c) +(b+ d) Quadrat(2)#
#( a + bsqrt (2)) * (c + dsqrt (2)) = (ac + bd) + (ad + bc) Quadrat(2)#
#( a+bsqrt(2))+((-a)+(-b)sqrt(2)) = 0#
#( a + bsqrt(2)) * ((a / (a ^ 2-2b ^ 2)) – (b / (a ^ 2-2b ^ 2)) Quadrat(2)) = 1#
Der knifflige ist der letzte, der uns im Grunde sagt, dass Zahlen der Form #a+bsqrt (2) # unter multiplikativ invers geschlossen sind. Man könnte sagen, dass Zahlen ungleich Null der Form #a+bsqrt (2) # unter Division geschlossen sind.