Abstract
Clebsch—Gordan-Koeffizienten, in denen die drei Winkelmomente j 1, j 2 und j = j 3 neu angeordnet sind, können einfach miteinander in Beziehung gesetzt werden. Der trivialste Fall beinhaltet den Austausch der Ordnung der Quantenzahlen j 1 m 1 und j 2 m 2. Der Zustandsvektor ❘ j 1, j 2 j 2 m 2〉 ist ein direktes Produkt zweier Vektoren mit separaten Teilräumen des gesamten Hilbertraums, oder in Bezug auf die Koordinatendarstellung ist die Wellenfunktion ein Produkt von Funktionen mit verschiedenen Variablen. Zum Beispiel könnte eine Funktion von Orbitalvariablen sein und könnte eine Funktion von Spinvariablen sein. Daher sollte das Produkt dieser beiden Funktionen nicht von der Reihenfolge abhängen, in der wir die beiden Funktionen schreiben. Deshalb, wenn wir diese Produktfunktion in terras des Gesamtdrehimpulses erweitern eigenfunktionen , Das Ergebnis muss unabhängig von der Reihenfolge sein, in der wir die ursprüngliche Produktfunktion schreiben,, oder , mit der möglichen Ausnahme eines Gesamtphasenfaktors. Dieser Phasenfaktor kommt daher, dass unsere Phasenkonvention, die das Gesamtvorzeichen der Clebsch—Gordan-Koeffizienten festlegt, den Winkelmomenten den Vorzug gibt, die in den Positionen Nummer 1 und Nummer 3 des Clebsch—Gordan-Koeffizienten sitzen. Somit muss 〈j 1 j 1 j 2 m 2❘j 3 j 3〉 durch unsere Phasenkonvention positiv sein. In ähnlicher Weise muss auch 〈j 2 j 2 j 1 m 1❘j 3 j 3〉 positiv sein. Im Gegenteil, der Clebsch—Gordan−Koeffizient 〈j 1 m 1 j 2 j 2❘j 3 j 3〉 hat das Vorzeichen mit m 1 = j 3- j 2 Daher ist sein Vorzeichen.