“ Niemand wird uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor für uns geschaffen hat“ – David Hilbert
Was gibt es Schöneres, als isoliert zu verbringen, als über das Unendliche nachzudenken? Beweisen wir den vielleicht einfachsten und elegantesten Beweis in der Mathematik: den Satz von Cantor.
Ich sagte einfach und elegant, aber nicht einfach!
Teil I: Das Problem
Cantors Theorem beantwortet die Frage, ob die Elemente einer Menge in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung (‚Paarung‘) mit ihren Teilmengen gebracht werden können. (Technisch gesehen eine ‚Bijektion‘). Diese Art von Problem hat mit einem mathematischen Konzept namens Kardinalität zu tun. Wir können eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz als eine Art mengentheoretische Mathematik betrachten Dating: Wir möchten, dass jedes Element in der Menge seine romantische Übereinstimmung in einer anderen Menge findet, aber wollen Polygamie vermeiden, und wir wollen vermeiden, dass mathematische Objekte Single sind.
Zum Beispiel hat die Menge {1,2,3} 3 Elemente: 1, 2, 3.
Es hat 8 Teilmengen: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
wobei {} als ‚leere Menge‘ bekannt ist. Sie können es vorerst gerne ignorieren, wenn es Ihnen unangenehm ist: Es wird nicht wichtig sein. Alternativ können Sie das Obige als drei Kugeln mit den Nummern 1,2,3 und die Teilmengen als die verschiedenen Möglichkeiten betrachten, wie Sie Bälle in einen kleinen Sack legen können. Eine Sache, die Sie tun können, ist nichts in den Sack zu stecken: das leere Set.
So weit, so *einfach*. Für endliche Mengen erweist sich dies schließlich als ziemlich offensichtlich. Wenn eine Menge N Elemente hat, hat die Menge der Teilmengen 2 ** n Elemente. Im obigen Beispiel hat die Menge {1,2,3} 3 Elemente und die Menge der Teilmengen (es ist ein Schluck und verwirrend zu lesen, aber schauen Sie sich das Beispiel an, um sich nicht zu verwirren!) hat 8 Elemente. 8 = 2*2*2 = 2**3 wie versprochen.
***Die Anweisung ‚die Menge der Teilmengen‘ kann etwas entmutigend sein. Um sich etwas wohler zu fühlen, versichern Sie sich zunächst, dass eine Teilmenge ein vernünftiges mathematisches Objekt ist. Wenn ich einige mathematische Objekte habe, kann ich einige davon gruppieren und andere weglassen. Sie können den ursprünglichen Satz als alle Ihre Fußballspieler und den Satz von Teilmengen als alle potenziellen Teams anzeigen, die Sie aus diesen Spielern beliebiger Größe zusammenstellen können. Wenn wir zu einer ‚unendlichen‘ Anzahl von Spielern kommen, können die Dinge etwas schwieriger zu konzipieren sein, aber die Grundidee ist dieselbe.***
Aber Cantor hatte sich größere Ziele gesetzt. Was ist mit Mengen mit einer unendlichen Anzahl von Elementen? Können wir die Größe zweier Mengen mit einer unendlichen Anzahl von Elementen vergleichen? (Spoiler: Ja.)
Schritt II: Der Beweis
Cantor nimmt an, dass Sie eine Paarung gefunden haben, die funktioniert.
Das heißt, Sie haben eine Funktion, die Sie in ein Element einer Menge einfügen, und die Ausgabe ist eine Teilmenge. Nicht nur das, sondern für jede Teilmenge können Sie auf ein Element zeigen, das von der Funktion in diese Teilmenge ‚abgebildet‘ oder ‚gesendet‘ wird. Außerdem werden keine zwei Elemente an dieselbe Teilmenge gesendet.
Im obigen Beispiel könnte jemand die Funktion vorschlagen, die 1 an die Menge {1}, 2 an die Menge {2,3} und 3 an die Menge {1,2} sendet. Es wird jedoch nichts an {1,2,3} gesendet, sodass dies eindeutig nicht funktioniert.
Um dies zu verallgemeinern, bittet Cantor uns, ‚die Menge von Elementen zu betrachten, die nicht in der Teilmenge enthalten sind, der sie zugeordnet sind‘. ZB wird oben 3 an {1,2} gesendet, aber 3 ist nicht in {1,2}, passt also gut zum Kriterium.
In unserer mathematischen mengentheoretischen Datierungsfunktion braucht auch diese Menge einen Partner. Aber wer kann der Partner dieses Sets sein? Wenn ein Element an diesen Satz gesendet wird, kann es nicht sein, wenn es in diesem Satz enthalten ist. (also ein Widerspruch). Warum? Weil es dann in der Teilmenge der Elemente enthalten ist, denen es zugeordnet wurde! Was ist, wenn es nicht in diesem Set ist? Dann ist auch das ein Widerspruch, als ob es nicht in der Menge wäre, durch die Definition der Menge muss es in der Menge sein, weil es nicht in der Teilmenge enthalten ist, der es zugeordnet ist.
Und so ist Cantors schwarze Magie vollbracht. Indem wir annehmen, dass unsere magische mathematische Datierungsfunktion funktioniert, haben wir ein Beispiel gefunden, bei dem es nicht funktionieren konnte.