Eine geschlossene Fläche ist eine Fläche, die kompakt und ohne Begrenzung ist. Beispiele sind Räume wie die Kugel, der Torus und die Klein-Flasche. Beispiele für nicht geschlossene Oberflächen sind: eine offene Scheibe, die eine Kugel mit einer Punktion ist; ein Zylinder, der eine Kugel mit zwei Punktionen ist; und der Möbiusstreifen. Wie bei jeder geschlossenen Mannigfaltigkeit ist eine in den euklidischen Raum eingebettete Oberfläche, die in Bezug auf die vererbte euklidische Topologie geschlossen ist, nicht unbedingt eine geschlossene Oberfläche; zum Beispiel eine in R 3 {\displaystyle \mathbb {R} eingebettete Scheibe} ^{3}}
, das seine Grenze enthält, ist eine Oberfläche, die topologisch geschlossen ist, aber keine geschlossene Oberfläche.
Klassifizierung geschlossener Oberflächenbearbeiten
Der Klassifikationssatz geschlossener Oberflächen besagt, dass jede verbundene geschlossene Oberfläche für ein Mitglied einer dieser drei Familien homöomorph ist:
- die Kugel,
- die verbundene Summe von g Tori für g ≥ 1,
- die verbundene Summe von k realen projektiven Ebenen für k ≥ 1.
Die Flächen in den ersten beiden Familien sind orientierbar. Es ist zweckmäßig, die beiden Familien zu kombinieren, indem man die Kugel als die verbundene Summe von 0 Tori betrachtet. Die Anzahl g der beteiligten Tori wird als Gattung der Oberfläche bezeichnet. Die Kugel und der Torus haben die Euler-Charakteristik 2 bzw. 0, und im Allgemeinen ist die Euler−Charakteristik der verbundenen Summe von g-Tori 2 – 2g.
Die Oberflächen in der dritten Familie sind nicht ausrichtbar. Die Euler-Charakteristik der reellen projektiven Ebene ist 1, und im Allgemeinen ist die Euler−Charakteristik der verbundenen Summe von k von ihnen 2 – k.
Daraus folgt, dass eine geschlossene Oberfläche bis zum Homöomorphismus durch zwei Informationen bestimmt wird: ihre Euler-Eigenschaft und ob sie orientierbar ist oder nicht. Mit anderen Worten, Euler-Charakteristik und Orientierbarkeit klassifizieren geschlossene Oberflächen vollständig bis zum Homöomorphismus.
Geschlossene Oberflächen mit mehreren verbundenen Komponenten werden nach der Klasse jeder ihrer verbundenen Komponenten klassifiziert, und man geht daher allgemein davon aus, dass die Oberfläche verbunden ist.
Monoid structureEdit
Wenn man diese Klassifikation auf verbundene Summen bezieht, bilden die geschlossenen Oberflächen bis zum Homöomorphismus ein kommutatives Monoid unter der Operation der verbundenen Summe, wie in der Tat Mannigfaltigkeiten jeder festen Dimension. Die Identität ist die Kugel, während die reale projektive Ebene und der Torus dieses Monoid erzeugen, mit einer einzigen Beziehung P # P # P = P # T, die auch geschrieben werden kann P # K = P # T, da K = P # P. Diese Beziehung wird manchmal als Dycks Theorem nach Walther von Dyck bezeichnet, der sie in (Dyck 1888) bewiesen hat, und die dreifache Kreuzfläche P # P # P wird dementsprechend Dycks Oberfläche genannt.
Geometrisch fügt connect-sum mit einem Torus (# T) einen Griff hinzu, bei dem beide Enden an derselben Seite der Oberfläche befestigt sind, während connect-sum mit einer kleinen Flasche (# K) einen Griff hinzufügt, bei dem die beiden Enden an gegenüberliegenden Seiten einer ausrichtbaren Oberfläche befestigt sind; in Gegenwart einer projektiven Ebene (# P) ist die Oberfläche nicht orientierbar (es gibt keine Vorstellung von Seite), so dass es keinen Unterschied zwischen dem Anbringen eines Torus und dem Anbringen einer Klein-Flasche gibt, was die Beziehung erklärt.
Flächen mit boundaryEdit
Kompakte Flächen, möglicherweise mit Boundaryedit, sind einfach geschlossene Flächen mit einer endlichen Anzahl von Löchern (offene Scheiben, die entfernt wurden). Somit wird eine zusammenhängende kompakte Fläche nach der Anzahl der Randkomponenten und der Gattung der entsprechenden geschlossenen Fläche klassifiziert – äquivalent nach der Anzahl der Randkomponenten, der Orientierbarkeit und der Euler-Charakteristik. Die Gattung einer kompakten Oberfläche ist definiert als die Gattung der entsprechenden geschlossenen Oberfläche.
Diese Klassifizierung folgt fast unmittelbar aus der Klassifizierung geschlossener Oberflächen: das Entfernen einer offenen Scheibe von einer geschlossenen Oberfläche ergibt eine kompakte Oberfläche mit einem Kreis für die Grenzkomponente, und das Entfernen von k offenen Scheiben ergibt eine kompakte Oberfläche mit k disjunkten Kreisen für Grenzkomponenten. Die genauen Positionen der Löcher sind irrelevant, da die Homöomorphismengruppe k-transitiv auf jede verbundene Mannigfaltigkeit der Dimension mindestens 2 wirkt.
Umgekehrt ist die Grenze einer kompakten Oberfläche eine geschlossene 1-Mannigfaltigkeit und ist daher die disjunkte Vereinigung einer endlichen Anzahl von Kreisen; Das Füllen dieser Kreise mit Scheiben (formal den Kegel nehmend) ergibt eine geschlossene Oberfläche.
Die einzigartige kompakte orientierbare Fläche der Gattung g und mit k Grenzkomponenten wird oft als Σ g , k , {\displaystyle \Sigma _{g,k},}
zum Beispiel in der Studie der Mapping-Klassengruppe.
Riemannsche Oberflächenbearbeiten
Eine riemannsche Oberfläche ist eine komplexe 1-Mannigfaltigkeit. Auf rein topologischer Ebene ist eine Riemannsche Fläche also auch eine orientierbare Fläche im Sinne dieses Artikels. Tatsächlich ist jede kompakte orientierbare Fläche als Riemannsche Fläche realisierbar. So sind kompakte Riemannsche Oberflächen topologisch durch ihre Gattung charakterisiert: 0, 1, 2, …. Andererseits charakterisiert die Gattung die komplexe Struktur nicht. Zum Beispiel gibt es unzählige nicht-isomorphe kompakte Riemannsche Oberflächen der Gattung 1 (die elliptischen Kurven).
Nicht kompakte Oberflächenbearbeiten
Nicht kompakte Oberflächen sind schwieriger zu klassifizieren. Als einfaches Beispiel kann eine nicht kompakte Oberfläche durch Punktieren (Entfernen einer endlichen Menge von Punkten aus) eines geschlossenen Verteilers erhalten werden. Auf der anderen Seite ist jede offene Teilmenge einer kompakten Oberfläche selbst eine nicht kompakte Oberfläche; Betrachten wir zum Beispiel das Komplement einer Cantor-Menge in der Kugel, auch bekannt als die Cantor-Baumoberfläche. Allerdings ist nicht jede nicht kompakte Oberfläche eine Teilmenge einer kompakten Oberfläche; Zwei kanonische Gegenbeispiele sind die Jakobsleiter und das Monster von Loch Ness, die nicht kompakte Oberflächen mit unendlicher Größe sind.
Eine nicht kompakte Oberfläche M hat einen nicht leeren Raum der Enden E(M), der informell die Art und Weise beschreibt, wie die Oberfläche „ins Unendliche geht“. Der Raum E(M) ist immer topologisch äquivalent zu einem geschlossenen Unterraum der Cantormenge. M kann eine endliche oder zählbar unendliche Anzahl Nh von Griffen sowie eine endliche oder zählbar unendliche Anzahl Np von projektiven Ebenen aufweisen. Wenn sowohl Nh als auch Np endlich sind, klassifizieren diese beiden Zahlen und die topologische Art des Raumes der Enden die Oberfläche M bis zur topologischen Äquivalenz. Wenn einer oder beide von Nh und Np unendlich sind, hängt der topologische Typ von M nicht nur von diesen beiden Zahlen ab, sondern auch davon, wie sich die unendlichen dem Raum der Enden nähern. Im Allgemeinen wird der topologische Typ von M durch die vier Unterräume von E (M) bestimmt, die Grenzpunkte von unendlich vielen Griffen und unendlich vielen projektiven Ebenen, Grenzpunkte von nur Griffen und Grenzpunkte von keinem sind.
Flächen, die nicht einmal sekundenzählbar sind
Wenn man die Annahme der Sekundenzählbarkeit aus der Definition einer Oberfläche entfernt, gibt es (notwendigerweise nicht kompakte) topologische Oberflächen, die keine zählbare Basis für ihre Topologie haben. Das vielleicht einfachste Beispiel ist das kartesische Produkt der langen Linie mit dem Raum reeller Zahlen.
Eine andere Oberfläche, die keine zählbare Basis für ihre Topologie hat, aber nicht das Axiom der Wahl benötigt, um ihre Existenz zu beweisen, ist die Prüfer-Mannigfaltigkeit, die durch einfache Gleichungen beschrieben werden kann, die zeigen, dass es sich um eine realanalytische Oberfläche handelt. Die Prüfer-Mannigfaltigkeit kann als obere Halbebene zusammen mit einer zusätzlichen „Zunge“ betrachtet werden, die direkt unter dem Punkt (x, 0) für jede reelle x.
1925 bewies Tibor Radó, dass alle Riemann-Oberflächen (dh eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten) notwendigerweise zweitzählbar sind (Satz von Radó). Ersetzt man dagegen die reellen Zahlen bei der Konstruktion der Prüfer-Fläche durch die komplexen Zahlen, erhält man eine zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeit (die notwendigerweise eine 4-dimensionale reelle Mannigfaltigkeit ist) ohne zählbare Basis.
ProofEdit
Die Klassifizierung geschlossener Flächen ist seit den 1860er Jahren bekannt, und heute gibt es eine Reihe von Beweisen.
Topologische und kombinatorische Beweise beruhen im Allgemeinen auf dem schwierigen Ergebnis, dass jede kompakte 2-Mannigfaltigkeit homöomorph zu einem simplizialen Komplex ist, der für sich genommen von Interesse ist. Der häufigste Beweis für die Klassifizierung ist (Seifert & Threlfall 1934) harv error: no target: CITEREFSeifertThrelfall1934 (Hilfe), der jede triangulierte Oberfläche in eine Standardform bringt. Ein vereinfachter Beweis, der eine Standardform vermeidet, wurde von John H. Conway circa 1992 entdeckt, den er den „Zero Irrelevancy Proof“ oder „ZIP Proof“ nannte und in (Francis & Weeks 1999) vorgestellt wird.
Ein geometrischer Beweis, der ein stärkeres geometrisches Ergebnis liefert, ist der Uniformisierungssatz. Dies wurde ursprünglich nur für Riemann-Oberflächen in den 1880er und 1900er Jahren von Felix Klein, Paul Koebe und Henri Poincaré nachgewiesen.