Kreisbahnen

Das detaillierte Verhalten realer Umlaufbahnen ist das Anliegen der Himmelsmechanik (siehe Artikel Himmelsmechanik). Dieser Abschnitt behandelt nur die idealisierte, gleichmäßige kreisförmige Umlaufbahn eines Planeten wie der Erde um einen zentralen Körper wie die Sonne. In der Tat ist die Umlaufbahn der Erde um die Sonne nicht ganz genau gleichmäßig kreisförmig, aber es ist eine nahe genug Annäherung für die Zwecke dieser Diskussion.

Ein Körper in gleichmäßiger Kreisbewegung erfährt zu jeder Zeit eine Zentripetalbeschleunigung, die durch Gleichung (40) gegeben ist. Nach Newtons zweitem Gesetz ist eine Kraft erforderlich, um diese Beschleunigung zu erzeugen. Im Falle eines umlaufenden Planeten ist die Schwerkraft die Schwerkraft. Die Situation ist in Abbildung 9 dargestellt. Die Anziehungskraft der Sonne ist eine nach innen gerichtete (zentripetale) Kraft, die auf die Erde wirkt. Diese Kraft erzeugt die zentripetale Beschleunigung der Orbitalbewegung.

Bevor diese Ideen quantitativ ausgedrückt werden, ist ein Verständnis dafür, warum eine Kraft benötigt wird, um einen Körper in einer Umlaufbahn konstanter Geschwindigkeit zu halten, nützlich. Der Grund dafür ist, dass die Geschwindigkeit des Planeten zu jedem Zeitpunkt tangential zur Umlaufbahn ist. In Abwesenheit der Schwerkraft würde der Planet dem Trägheitsgesetz (Newtons erstem Gesetz) gehorchen und in einer geraden Linie in Richtung der Geschwindigkeit mit konstanter Geschwindigkeit abfliegen. Die Schwerkraft dient dazu, die Trägheitstendenz des Planeten zu überwinden und ihn dadurch im Orbit zu halten.

Die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern wie Sonne und Erde ist gegeben durch

wobei MS und ME die Massen der Sonne bzw. der Erde sind, r der Abstand zwischen ihren Zentren ist und G eine universelle Konstante von 6,674 × 10-11 Nm2 / kg2 (Newtonmeter im Quadrat pro Kilogramm im Quadrat) ist. Die Kraft wirkt entlang der Richtung, die die beiden Körper verbindet (d. H. Entlang des Radiusvektors der gleichmäßigen Kreisbewegung), und das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft anziehend ist, um die Erde zur Sonne zu ziehen.

Für einen Beobachter auf der Erdoberfläche scheint der Planet in (ungefähr) konstanter Entfernung von der Sonne zu ruhen. Dem Beobachter scheint es daher, dass jede auf die Erde einwirkende Kraft (wie die Schwerkraft der Sonne) durch eine gleiche und entgegengesetzte Kraft ausgeglichen werden muss, die die Erde im Gleichgewicht hält. Mit anderen Worten, wenn die Schwerkraft versucht, die Erde in die Sonne zu ziehen, muss eine entgegengesetzte Kraft vorhanden sein, um dies zu verhindern. In Wirklichkeit existiert keine solche Kraft. Die Erde befindet sich in einer frei beschleunigten Bewegung, die durch eine unausgeglichene Kraft verursacht wird. Die scheinbare Kraft, in der Mechanik als Pseudokraft bekannt, beruht auf der Tatsache, dass sich der Beobachter tatsächlich in beschleunigter Bewegung befindet. Im Falle der Orbitalbewegung wird die nach außen gerichtete Pseudokraft, die die Schwerkraft ausgleicht, als Zentrifugalkraft bezeichnet.

Für eine gleichmäßige kreisförmige Umlaufbahn erzeugt die Schwerkraft eine Beschleunigung nach innen, die durch Gleichung (40) gegeben ist, a = −v2 / r. Die Pseudokraft f, die benötigt wird, um diese Beschleunigung auszugleichen, ist genau gleich der Masse der Erde mal einer gleichen und entgegengesetzten Beschleunigung oder f = MEv2 / r. Der erdgebundene Beobachter glaubt dann, dass keine Nettokraft auf den Planeten wirkt — d. h., dass F + f = 0 ist, wobei F die durch Gleichung (41) gegebene Schwerkraft ist. Die Kombination dieser Gleichungen ergibt eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit v eines Planeten und seiner Entfernung r von der Sonne:

Es sollte beachtet werden, dass die Geschwindigkeit nicht von der Masse des Planeten abhängt. Dies geschieht aus genau demselben Grund, weil alle Körper mit der gleichen Beschleunigung auf die Erde fallen und die Periode eines Pendels unabhängig von seiner Masse ist. Ein umkreisender Planet ist in der Tat ein frei fallender Körper.

Gleichung (42) ist ein Sonderfall (für Kreisbahnen) von Keplers drittem Gesetz, das im Artikel Himmelsmechanik diskutiert wird. Mit der Tatsache, dass v = 2nr / T, wobei 2nr der Umfang der Umlaufbahn ist und T die Zeit ist, um eine vollständige Umlaufbahn zu bilden (d. H. T ist ein Jahr im Leben des Planeten), ist es leicht zu zeigen, dass T2 = (4π2 / GMS)r3. Diese Beziehung kann auch auf Satelliten in einer kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde (in diesem Fall muss MS durch ME ersetzt werden) oder in einer Umlaufbahn um einen anderen zentralen Körper angewendet werden.