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Beispiel- Magnetfeld eines Koaxialkabels
Berechnen wir nun die Magnetfelder eines Koaxialkabels in verschiedenen Regionen.
B Feld eines Koaxialkabels. Ein Koaxialkabel besteht aus zwei konzentrischen zylindrischen Bereichen, einem inneren Kern, einer äußeren zylindrischen Hülle usw. Diese leitenden zylindrischen Bereiche sind durch ein isolierendes Medium voneinander getrennt, und da einer dieser Zylinder den Strom in einer Richtung führt, wird der Strom genannt, der den inneren Kern als i sub a. Die äußere zylindrische Hülle führt den Strom i sub b in entgegengesetzter Richtung.
Wenn wir diesem Kabel einige Abmessungen geben, nehmen wir an, dieser Radius ist a, der Innenradius der äußeren zylindrischen Hülle ist b und der Außenradius der anderen zylindrischen Hülle ist c.
Daher fließt Strom durch diese Zylinder in entgegengesetzte Richtungen, und wir möchten das Magnetfeld eines solchen Kabels in verschiedenen Regionen bestimmen. Beginnen wir mit der Region, so dass unser Punkt von Interesse, Entfernung zum Zentrum, kleiner ist als der Radius a. Mit anderen Worten, innerhalb des inneren Zylinders.
Und schauen wir uns diesen Fall von der Draufsicht an und so haben wir hier, sagen wir, den inneren Zylinder aus Querschnittssicht und die äußere zylindrische Hülle, so etwas, und der innere Zylinder führt den Strom i sub a aus der Ebene, und der äußere Zylinder führt den Strom i sub b in die Ebene, überall in diesen Regionen.
Wieder ist der Radius des inneren Zylinders a, und dieser Radius ist b und der Radius der äußeren Region ist c. Nun, wir haben früher ein sehr ähnliches Beispiel gemacht. Unsere erste Region von Interesse ist, dass unser Punkt von Punkt a innerhalb des inneren Zylinders liegt. Nehmen wir an, irgendwo in der Nähe, und um das Magnetfeld an dieser Stelle zu finden, die wenig r vom Zentrum entfernt ist, platzieren wir eine empirische Schleife in Form eines Kreises, der mit der Magnetfeldlinie übereinstimmt, die durch diesen Punkt verläuft, und nennen wir diese Schleife als c1 für die erste Region.
Und das B / s-Gesetz besagt, dass B von dl, das über diese Schleife c1 integriert ist, gleich neu 0 mal dem Nettostrom ist, der durch die Region oder die Oberfläche fließt, die von dieser Schleife c1 umgeben ist.
Wie wir es in den früheren Beispielen getan haben, wird eine solche Schleife die Bedingungen erfüllen, um das Empire-Gesetz anzuwenden, und das Magnetfeld wird tangential zur Feldlinie sein, und diese Feldlinie fällt mit der Schleife zusammen, die wir wählen, und dl ist ein inkrementelles Verschiebungselement entlang dieser Schleife, daher ist der Winkel zwischen b und dl für diesen Fall immer 0 Grad.
Die linke Seite gibt uns also b Magnitude, dl magnitude mal cosin von 0, integriert über die Schleife c1, ist gleich neu 0 mal i1.
Cosin von 0 ist 1 und b ist über diese Schleife konstant, weil die Schleife mit der Magnetfeldlinie zusammenfällt, die durch diesen Punkt verläuft, und solange wir uns auf dieser Feldlinie befinden, werden wir die gleiche Magnetfeldgröße sehen. Deshalb, da die Größe konstant ist, wir können es außerhalb des Integrals nehmen, deshalb, die linke Seite, die wir am Ende mit b mal Integral von dl über Schleife c1 ist gleich neu 0 mal i eingeschlossen.
Integral von c1, Integral von dl, über Schleife c1 wird uns die Länge dieser Schleife geben, die der Umfang dieses Kreises ist, und das wird gleich 2pi mal der Radius dieses Kreises sein, das ist wenig r mal b wird gleich neu 0 mal i eingeschlossen sein.
I eingeschlossen ist der Nettostrom, der durch den von dieser Schleife c umgebenen Bereich fließt, also die Oberfläche. Die Schleife c umgibt diesen grün schattierten Bereich, und wir wissen, dass durch die gesamte innere Oberfläche der Strom i sub a fließt, der im Grunde genommen diesen ganzen Bereich hier abdeckt, und um den Nettostrom zu erhalten, der durch diesen grün schattierten Bereich fließt, definieren wir die Stromdichte, die Strom pro Einheit Querschnittsfläche ist, und wenn wir diese Stromdichte mit dem Bereich multiplizieren, der von der Schleife c umgeben ist, erhalten wir die Menge an Strom, die durch diese Oberfläche fließt.
Wenn wir also weitermachen, haben wir b mal 2pir, dies ist die linke Seite, die gleich 10 mal i eingeschlossen ist, wobei in diesem Fall i eingeschlossen gleich J mal der Fläche dieser Region ist, die pir im Quadrat ist, und hier ist die Stromdichte der Gesamtstrom i geteilt durch die Gesamtquerschnittsfläche dieses Drahtes, und das ist pi mal ein Quadrat.
Also, b mal 2pir wird 10 mal sein, wo ich denke, wir werden i über Pia-Quadrat haben, und das ist die Stromdichte für den Strom, der durch den inneren Zylinder fließt, und ich sollte den Index a hier verwenden, weil wir die Menge des Stroms definiert haben, der durch den inneren Zylinder fließt als i sub a. I sub a über Pia-Quadrat wird uns die Stromdichte geben, und wenn wir diesen Strom pro Flächeneinheit mit der Fläche der Region multiplizieren, die uns interessiert, die pir im Quadrat ist, dann enden wir mit dem Gesamtstrom, der durch diese Oberfläche fließt.
Hier werden dieser pi und dieser pi aufgehoben, und wir können eines dieser r-Quadrate mit dem r auf der linken Seite aufheben, und wenn wir b in Ruhe lassen, erhalten wir ein Magnetfeld innerhalb des inneren Zylinders als neu0 i sub a geteilt durch 2pia-Quadrat mal r.
Und natürlich ist dies das identische Ergebnis mit dem Beispiel, das wir zuvor gemacht haben, um das Magnetfeldprofil eines stromführenden zylindrischen Drahtes zu erhalten.
Betrachten wir nun als zweite Region das Magnetfeld für die Region, die unser interessierender Punkt zwischen den beiden Zylindern ist. Mit anderen Worten, r ist kleiner als b und größer als eine Region.
Wenn wir uns diese Region ansehen, sprechen wir über diesen Teil, und in diesem Teil sagen wir, dass unser Point of Interest jetzt irgendwo hier drüben liegt. Wieder wählen wir eine geschlossene Schleife. Nennen wir dies in diesem Fall c2, das mit der Magnetfeldlinie übereinstimmt, die durch den interessierenden Punkt p verläuft.
Und für diesen Bereich ist dies unser äußerer zylindrischer Schalenbereich, der den Strom i sub b in die Ebene führt. Wenn wir nun für diese Region wieder diese Schleife wählen, die mit der Feldlinie übereinstimmt, die durch diesen Punkt verläuft, erfüllt sie die Bedingungen, um das amperesche Gesetz anzuwenden, und daher ist die linke Seite des ampereschen Gesetzes identisch mit dem vorherigen Teil, und es wird uns die b-Note dl geben, die über die Schleife c2 integriert ist, die gleich 10 i eingeschlossen ist. Die linke Seite wird uns wieder b mal 2pir geben. Natürlich ist jetzt die Entfernung, wenig r, die Entfernung vom Zentrum zu diesem Punkt für diese Region.
Und die rechte Seite, für diesen Fall, jetzt werden wir uns den Nettostrom ansehen, der durch den Bereich fließt, der von der Schleife c2 umgeben ist, mit anderen Worten, der Bereich, der von der Schleife c2 umgeben ist, und das ist dieser gelb schattierte Bereich, und wenn wir uns diese Oberfläche ansehen, sehen wir, dass der gesamte Strom, der durch den inneren Zylinder fließt, durch diese Oberfläche fließt, und natürlich ist alles außerhalb dieser Oberfläche von Interesse, und daher wird in diesem Fall i eingeschlossen einfach gleich dem Strom sein, der durch den inneren Zylinder fließt, was i ist. a. Daher haben wir auf der rechten Seite neu0 mal i sub a, und wenn wir für das Magnetfeld lösen, haben wir neu0 i sub a über 2pir für diese Region.
Dies ist also der Fall, dass r zwischen b und a liegt, und für den vorherigen Teil haben wir das Magnetfeld für die Region so berechnet, dass r kleiner als a ist.
Lassen Sie uns nun vorwärts gehen und das Magnetfeld innerhalb der anderen zylindrischen Hülle berechnen. In diesem Fall sprechen wir also von b in der Region, in der r zwischen c und b liegt.
Mit anderen Worten, jetzt interessieren wir uns für den Innenbereich dieser anderen zylindrischen Schale. Nehmen wir an, dass in diesem Fall unser Punkt von Interesse irgendwo hier drüben ist.
Nun wählen wir unsere empirische Schleife wieder so, dass sie mit der Feldlinie übereinstimmt, die durch diesen Punkt verläuft, daher wird sie wieder die Form eines Kreises haben, und ihr Radius r wird jetzt vom Zentrum aus gemessen und zeigt darauf .
Nennen wir diese Schleife nun c3. Auch hier werden die Berechnungen auf der linken Seite den vorherigen Teilen ähnlich sein. Diese Schleife erfüllt die Bedingungen, um das Ampere-Gesetz anzuwenden. Die Größe des Magnetfeldes wird überall entlang dieser Schleife konstant sein, und der Winkel zwischen b und dl wird 0 sein.
Also, Ampere-Gesetz, das ist b dot dl, integriert über Schleife c3 gleich neu0 i eingeschlossen wird uns schließlich geben, für die linke Seite, wie oben, wird uns d mal dpir geben, und auf der rechten Seite werden wir neu0 mal i eingeschlossen haben.
Hier geht es nun um den Nettostrom, der durch den von der Schleife c3 umgebenen Bereich fließt. Wenn wir uns diesen Bereich ansehen, werden wir sehen, dass wir zuerst über diesen Bereich sprechen, diesen blau schattierten Bereich, in diesem Bereich sehen wir, dass der gesamte innere Zylinder oder der Strom, der durch den inneren Zylinder fließt, durch diesen Bereich fließt, und für die andere zylindrische Hülle sehen wir, dass nur dieser große Abschnitt des Zylinders zum Magnetfeld beiträgt, weil der Strom, der durch den Bereich fließt, der unsere Seite dieser spezifischen Oberfläche ist, von Interesse ist.
Da also i sub a aus der Ebene fließt und i sub b in die Ebene fließt, wird der Nettostrom im Grunde die Differenz zwischen diesen beiden Strömen sein. Also können wir i sub als i sub a ausdrücken, lassen Sie uns diese Richtung wählen, unsere Ebenenrichtung als positiv, und das bewegt sich aus der Ebene heraus, das ist positiv, und der andere ist der Bruchteil des Stroms, der sich in die Ebene bewegt, und um diesen auszudrücken, müssen wir jetzt die Stromdichte ausdrücken, die mit der äußeren Schale verbunden ist, die der Gesamtstrom ist, der durch diese Schale fließt, und das ist i sub b, geteilt durch die Gesamtquerschnittsfläche des Leiters, wir sprechen über die äußere Schale, und die Gesamtquerschnittsfläche dieser äußeren zylindrischen Schale ist die Fläche dieser großen zylinder abzüglich der Fläche dieses kleinen Zylinders.
Mit anderen Worten, das ist gleich pic im Quadrat minus pib im Quadrat, und dieser Teil, dieser Ausdruck, wird gleich der Stromdichte des äußeren Zylinders sein.
Und diese Dichte mal das Gebiet von Interesse gibt uns den Nettostrom, der durch dieses Gebiet fließt. Mit anderen Worten, wenn wir das Produkt der Stromdichte mit dieser blau schattierten Region nehmen, der Fläche der schattierten Region, sollte ich sagen, dann erhalten wir den Nettostrom, der durch diese Oberfläche fließt, und das ist im Grunde pir im Quadrat minus pib im Quadrat.
Okay. Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir ihn so schreiben, wie i eingeschlossen ist gleich i sub a minus i sub b über pi Klammer c Quadrat minus b Quadrat mal pi mal r Quadrat minus b Quadrat.
Hier wird der pis storniert, und daher wird iid dieser Menge entsprechen. Dann ist b mal 2pir gleich 10 mal i Quadrat und das heißt i sub a minus r Quadrat minus b Quadrat, i sub b geteilt durch c Quadrat minus b Quadrat.
Um das Magnetfeld zu erhalten, lassen wir diese Größe allein auf der linken Seite der Gleichung, daher ist b gleich 10 über 2pir mal i sub a minus i sub b mal r Quadrat minus b Quadrat, geteilt durch c Quadrat minus b Quadrat entspricht Klammer.
Innerhalb der äußeren zylindrischen Hülle wird also die Magnetfeldgröße gleich dieser Größe sein. Natürlich hängt die Richtung, die Nettorichtung des Magnetfeldes, ob im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn, von der Größe dieser Ströme ab, und dies gilt für den Bereich, in dem r zwischen c und b liegt.
Der letzte Bereich ist der Außenbereich dieses Koaxialkabels. Also gehen wir zurück zu unserem Diagramm, dann sprechen wir darüber, dass unser Punkt von Interesse irgendwo hier drüben liegt, und wieder, indem wir eine empirische Schleife wählen, die durch den Punkt von Interesse verläuft und mit der Feldlinie übereinstimmt, die durch diesen Punkt verläuft, Punkt p, und das ist r Abstand vom Zentrum entfernt.
Die linke Seite des Amperegesetzes, nennen wir diese Schleife als c4, das Amperegesetz für diesen Fall wird die b-Note sein, die über die Schleife c4 integriert ist, die 10 mal genannt wird i eingeschlossen, und die linke Seite wird wiederum den vorherigen Teilen ähnlich sein, die uns geben werden b mal 2pir, und das wird gleich sein, für die i eingeschlossen jetzt schauen wir uns unser Diagramm an, wir sprechen über den Nettostrom, der durch das Gebiet fließt, das jetzt umgeben ist, diese ganze Region , und es ist von Loop c4 umgeben, von dem wir über diese ganze Region sprechen, und wir können leicht sehen, dass das Ganze strom, der durch das Koaxialkabel fließt, fließt durch diesen Punkt, fließt durch diese Oberfläche, und das heißt, i sub a kommt aus der Ebene und i sub b geht in die Ebene.
Infolgedessen ist der Nettostrom, der durch den von der empirischen Schleife c4 umgebenen Bereich fließt, gleich i sub a minus i sub b, da sie in entgegengesetzte Richtungen fließen, daher haben wir auf der rechten Seite neu0 mal i sub a minus i sub b, und wenn wir das Magnetfeld lösen, erhalten wir den endgültigen Ausdruck von neu0 2pir mal i sub a minus i sub b.
Und dies ist das Magnetfeld, das außerhalb dieses Koaxialkabels erzeugt wird. Das heißt für die Region, dass r größer als c ist.
Okay. Nun, wenn i sub a gleich i sub b ist, wenn diese beiden Ströme gleich groß sind, da sie in entgegengesetzte Richtungen fließen, dann wird i b gleich 0 sein. Es bedeutet, dass magnetfeld außerhalb der koaxialkabel wird 0 für r größer als c region.