Notation: In einer idealen Welt würde ich α, β, γ für die Koeffizienten der linearen, Flächen- und Volumenausdehnung verwenden. Leider brauchen wir γ für das Verhältnis der Wärmekapazitäten. Viele Leute benutzen es für die Volumenerweiterung, also werde ich dem folgen. Was ist dann für die Gebietserweiterung zu verwenden? Ich werde b verwenden, also haben wir jetzt α, b, β , was sehr ungeschickt ist. Wir werden jedoch selten b brauchen, damit wir vielleicht überleben können.
Linearer Ausdehnungskoeffizient: α
Flächenausdehnungskoeffizient: b
Volumenausdehnungskoeffizient: β
Für kleine Temperaturbereiche können die Zunahmen von Länge, Fläche und Volumen mit der Temperatur dargestellt werden durch
\ \]
\ \]
und
\ \]
Für anisotrope Kristalle kann der Koeffizient in verschiedenen Richtungen unterschiedlich sein, aber für isotrope Materialien können wir schreiben
\^{2}= A_{1}\links \]
\^{3}= V_{1}\left\]
Also für kleine Erweiterungen, \( \hat{b} \approx 2 \tilde{\alpha}\) und \( \widehat{\beta} \approx 3 \hat{\alpha}\).
Gleichungen 13.1.1, 2 und 3 definieren die ungefähren Koeffizienten über einen endlichen Temperaturbereich. Die Koeffizienten bei einer bestimmten Temperatur sind durch die Ableitungen definiert, d.h.
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\
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Die Beziehungen b = 2α und β = 3α sind exakt.
Wir spezifizieren „bei konstantem Druck“, weil wir in unserer Definition offensichtlich nicht verhindern wollen, dass sich das Material ausdehnt, indem wir den Druck auf es erhöhen, wenn wir es erhitzen.
Für Feststoffe ist der lineare Ausdehnungskoeffizient normalerweise der geeignete Parameter; für Flüssigkeiten und Gase ist der Volumenkoeffizient normalerweise angemessen. Für die meisten bekannten gewöhnlichen Metalle liegt der lineare Ausdehnungskoeffizient in der Größenordnung von 10-5 K-1. Legierungen wie die Nickel-Stahl-Legierung „invar“, die im Uhrenbau verwendet wird, können viel kleinere Koeffizienten haben. Gewöhnliches Glas hat einen Koeffizienten, der nur wenig geringer ist als der von Metallen; Pyrex und Quarzglas haben eine viel geringere Ausdehnung – daher ihre Verwendung in Teleskopspiegeln. Bei Flüssigkeiten und Gasen wird in der Regel der Volumenkoeffizient angegeben. Der Volumenkoeffizient von Quecksilber beträgt etwa 0,00018 K-1. Wasser zieht sich tatsächlich zwischen 0 und 4 oC zusammen und dehnt sich oberhalb dieser Temperatur aus. Der Volumenkoeffizient von Luft bei 0 oC beträgt 0,0037 K-1.
Bei Raumtemperatur und darüber variiert der lineare Ausdehnungskoeffizient von Metallen nicht sehr stark mit der Temperatur, aber bei niedrigen Temperaturen variiert der Ausdehnungskoeffizient viel schneller mit der Temperatur – und damit auch die spezifische Wärmekapazität (siehe Abschnitt 8.10). In der Tat variieren für ein gegebenes Metall die Variation des Ausdehnungskoeffizienten und die spezifische Wärmekapazität mit der Temperatur in ziemlich ähnlicher Weise, so dass für ein gegebenes Metall das Verhältnis α / CP über einen großen Temperaturbereich konstant ist.
Übung: Eine quadratische Metallplatte hat in der Mitte ein kreisförmiges Loch von 300 cm2. Wenn der lineare Ausdehnungskoeffizient 2 × 10-5 Cº−1 beträgt, berechnen Sie die Fläche des Lochs, wenn die Temperatur der Platte um 100 Grad erhöht wird.
Übung: Zeigen Sie, dass der Volumenausdehnungskoeffizient eines idealen Gases 1/T beträgt. Vergleichen Sie dies mit dem oben angegebenen Zahlenwert für Luft.
Obwohl sich die klassische Thermodynamik nicht mit detaillierten mikroskopischen Prozessen befasst, ist es von Interesse zu fragen, warum sich ein Feststoff beim Erhitzen ausdehnt. Stellen wir uns einen kristallinen Feststoff vor, der aus Atomen besteht, die durch kleine Federn miteinander verbunden sind, und jede Feder unterliegt dem Hookeschen Gesetz, und folglich vibriert jedes Atom in einem parabolischen Potentialtopf und bewegt sich in einfacher harmonischer Bewegung. Wenn wir die Temperatur erhöhen, erhöhen wir die Amplitude der Schwingungen, aber wir ändern nicht die mittleren Positionen der Atome. Folglich würden wir in einem solchen Modell keine Ausdehnung beim Erhitzen erwarten. Das reale Potential ist jedoch nicht parabolisch, sondern zumindest qualitativ so geformt wie das in Kapitel 6, Abschnitt 6.8 erwähnte Lennard-Jones- oder Morsepotential. Wenn das Material erhitzt wird, nimmt die Amplitude der Schwingungen zu, und aufgrund der Terme höherer Ordnung im Potential, die dem Potential seine asymmetrische anharmonische Form verleihen, nimmt die mittlere Trennung der Atome tatsächlich zu, und so haben wir Expansion. Somit ist die Ausdehnung beim Erhitzen eines festen Materials eine Folge der Anharmonizität der Atomschwingungen und der Asymmetrie des Potentials, in dem sie sich bewegen.
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Zusammenfassung
Wenn die Länge bei T1 l1 ist, ist die Länge l2 bei T2 im Allgemeinen gegeben durch
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In dem Fall, in dem dl / dT konstant ist, so dass \(\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}\) , wird dies
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In dem Fall, in dem α konstant ist, wird es also
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So zur ersten Ordnung von kleinen Mengen sind alle Sorten von α gleich.
Ausdehnungskoeffizient als Tensorgröße. In Kapitel 4 habe ich kurz erwähnt, dass im Fall eines anistropen Kristalls der Wärmeleitungskoeffizient eine Tensorgröße ist. Gleiches gilt für einen anisotropen Kristall für den Ausdehnungskoeffizienten. Wenn Sie also während einer Physikprüfung gebeten wurden, Beispiele für Tensorgrößen anzugeben, könnten Sie diese als Beispiele angeben – obwohl ein kleines Risiko bestehen könnte, wenn Ihr Lehrer diese nicht als Tensoren betrachtet hätte! Der Ausdehnungskoeffizient eines anisotropen Kristalls kann in verschiedene Richtungen variieren. (In Island Spar – Calciumcarbonat – in einer Richtung ist der Koeffizient tatsächlich negativ.) Wenn Sie einen anisotropen Kristall in Form eines Würfels schneiden, dessen Kanten nicht parallel zur kristallographischen Achse sind, dehnt sich die Probe beim Erhitzen nicht nur im Volumen aus, sondern ändert auch ihre Form zu einem nicht rechteckigen Parallelepiped. Es ist jedoch möglich, den Kristall in Form eines Würfels so zu schneiden, dass sich die Probe beim Erhitzen zu einem rechteckigen Parallelepiped ausdehnt. Die Kanten des Würfels (und das resultierende Parallelepiped) sind dann parallel zu den Hauptausdehnungsachsen, und die Koeffizienten in diesen Richtungen sind die Hauptausdehnungskoeffizienten. Diese Richtungen sind parallel zu den kristallographischen Achsen, wenn der Kristall eine von mehreren Symmetrieachsen hat (aber offensichtlich nicht anders)