cirkelbanen

het gedetailleerde gedrag van reële banen is de zorg van de hemelse mechanica (zie het artikel hemelse mechanica). Deze sectie behandelt alleen de geïdealiseerde, uniforme cirkelbaan van een planeet zoals de aarde rond een centraal lichaam zoals de zon. In feite is de baan van de aarde rond de zon niet helemaal precies gelijkmatig cirkelvormig, maar het is een dicht genoeg benadering voor de doeleinden van deze discussie.

een lichaam in uniforme cirkelvormige beweging ondergaat te allen tijde een centripetale versnelling volgens vergelijking (40). Volgens de tweede wet van Newton is een kracht nodig om deze versnelling te produceren. In het geval van een ronddraaiende planeet is de kracht zwaartekracht. De situatie wordt geïllustreerd in Figuur 9. De zwaartekracht van de zon is een innerlijke (centripetale) kracht die op aarde werkt. Deze kracht produceert de centripetale versnelling van de orbitale beweging.

voordat deze ideeën kwantitatief worden uitgedrukt, is een begrip van waarom een kracht nodig is om een lichaam in een baan van constante snelheid te houden nuttig. De reden is dat op elk moment de snelheid van de planeet raaklijnt aan de baan. Bij afwezigheid van zwaartekracht zou de planeet de wet van de traagheid (Newton ‘ s eerste wet) gehoorzamen en in een rechte lijn in de richting van de snelheid vliegen met constante snelheid. De zwaartekracht dient om de traagheidsneiging van de planeet te overwinnen, waardoor deze in een baan om de planeet blijft.

de zwaartekracht tussen twee hemellichamen zoals de zon en de Aarde wordt gegeven door

waar MS en ME de massa ‘ s van de zon en de aarde zijn, is r de afstand tussen hun centra, en is G een universele constante gelijk aan 6.674 × 10-11 Nm2/kg2 (Newton vierkante meter per kilogram kwadraat). De kracht werkt in de richting die de twee hemellichamen verbindt (d.w.z. langs de straalvector van de uniforme cirkelbeweging), en het minteken betekent dat de kracht aantrekkelijk is en de aarde naar de zon trekt.

voor een waarnemer op het aardoppervlak lijkt de planeet in rust te zijn op (ongeveer) een constante afstand van de zon. Het lijkt de waarnemer daarom dat elke kracht (zoals de zwaartekracht van de zon) die op aarde werkt, in evenwicht moet worden gebracht door een gelijke en tegengestelde kracht die de aarde in evenwicht houdt. Met andere woorden, als de zwaartekracht de aarde in de zon probeert te trekken, moet er een tegengestelde kracht aanwezig zijn om dat te voorkomen. In werkelijkheid bestaat zo ‘ n kracht niet. De aarde is in vrij versnelde beweging veroorzaakt door een onevenwichtige kracht. De schijnbare kracht, in de mechanica bekend als een pseudoforce, is te wijten aan het feit dat de waarnemer eigenlijk in versnelde beweging is. In het geval van orbitale beweging wordt de buitenste pseudoforce die de zwaartekracht balanceert, de centrifugale kracht genoemd.

voor een uniforme cirkelbaan produceert de zwaartekracht een versnelling naar binnen gegeven door vergelijking (40), a = −v2/r. de pseudoforce F die nodig is om deze versnelling in evenwicht te brengen is net gelijk aan de massa van de aarde maal een gelijke en tegengestelde versnelling, of f = MEv2 / r. de Aardgebonden waarnemer gelooft dan dat er geen nettokracht op de planeet werkt-d.w.z., dat F + f = 0, waarbij F de zwaartekracht is gegeven door vergelijking (41). Het combineren van deze vergelijkingen levert een relatie op tussen de snelheid v van een planeet en de afstand r van de zon:

opgemerkt moet worden dat de snelheid niet afhankelijk is van de massa van de planeet. Dit gebeurt om precies dezelfde reden dat alle lichamen met dezelfde versnelling naar de aarde vallen en dat de periode van een slinger onafhankelijk is van zijn massa. Een ronddraaiende planeet is in feite een vrij vallend lichaam.

vergelijking (42) is een speciaal geval (voor cirkelbanen) van Keplers derde wet, die wordt besproken in het artikel celestial mechanics. Gebruikend het feit dat v = 2nr/ T, waar 2nr de omtrek van de baan is en T de tijd is om een volledige baan te maken (d.w.z., T is één jaar in het leven van de planeet), is het gemakkelijk om aan te tonen dat T2 = (4π2/GMS) r3. Deze relatie kan ook worden toegepast op satellieten in een cirkelbaan rond de aarde (in dat geval moet me worden vervangen door MS) of in een baan rond een ander centraal lichaam.