“Niemand zal ons uit het paradijs, die Cantor gemaakt voor ons” — David Hilbert
Wat is een betere manier om te besteden in het isolement dan na over de oneindige? Laten we misschien het eenvoudigste en meest elegante bewijs in de wiskunde bewijzen: de Stelling van Cantor.
ik zei eenvoudig en elegant, maar niet gemakkelijk!
Deel I: Het stellen van het probleem
de stelling van Cantor beantwoordt de vraag of de elementen van een verzameling in een één-op-één correspondentie (‘pairing’) met haar deelverzamelingen kunnen worden geplaatst. (Technisch gesproken, een ‘bijectie’). Dit soort problemen heeft te maken met een wiskundig concept genaamd ‘kardinaliteit’. We kunnen een één-op-één correspondentie zien als een soort settheoretische wiskundige datering: we willen dat elk element in de set zijn romantische match vindt in een andere set, maar we willen polygamie vermijden, en we willen vermijden dat wiskundige objecten single zijn.
bijvoorbeeld, de verzameling {1,2,3} heeft 3 elementen: 1, 2, 3.
het heeft 8 subsets: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
waar {} bekend staat als de’lege verzameling’. Je kunt het nu gelukkig negeren als het je ongemakkelijk maakt: het zal niet belangrijk zijn. Als alternatief, bekijk het bovenstaande als drie ballen genummerd 1,2,3 en de deelverzamelingen als de verschillende manieren waarop je ballen in een kleine zak kunt zetten. Eén ding dat je kunt doen is niets in de zak stoppen: de lege set.
tot nu toe, zo * gemakkelijk*. Voor eindige verzamelingen blijkt dit immers heel duidelijk. Als een verzameling N elementen heeft, dan heeft de verzameling van deelverzamelingen 2 * * N elementen. In het bovenstaande heeft de verzameling {1,2,3} 3 elementen, en de verzameling van deelverzamelingen (het is een mondvol en verwarrend om te lezen, maar kijk naar het voorbeeld om jezelf te ontkrachten!) heeft 8 elementen. 8 = 2*2*2 = 2**3 zoals ik beloofde.
** * het statement ‘de verzameling van subsets’ kan een beetje ontmoedigend zijn. Om je wat comfortabeler te voelen, moet je jezelf er eerst van verzekeren dat een deelverzameling een verstandig wiskundig object is. Als ik wat wiskundige objecten heb, kan ik sommige samenvoegen en andere weglaten. U kunt de originele set bekijken als al uw voetballers, en de set van subsets als alle potentiële teams die u kunt maken van deze spelers, van elke grootte. Als we bij een’ oneindig ‘ aantal spelers komen, kan het wat moeilijker worden om het te conceptualiseren, maar het basisidee is hetzelfde.***
maar Cantor had zijn zinnen groter gezet. Hoe zit het met Verzamelingen met een oneindig aantal elementen? Kunnen we de grootte van twee verzamelingen vergelijken met een oneindig aantal elementen? (Spoiler: Ja.)
Stap II: het bewijs
Cantor veronderstelt dat u een koppeling hebt gevonden die werkt.
dat wil zeggen, Je hebt een functie, die je in een element van een verzameling plaatst, en de uitvoer is een subset. Niet alleen dat, maar voor elke subset kun je naar een element wijzen dat door de functie wordt ’toegewezen’ of ‘verzonden’ in die subset. Ook worden er geen twee elementen naar dezelfde subset gestuurd.
in het voorbeeld hierboven zou iemand de functie kunnen voorstellen die 1 naar de verzameling {1}, 2 naar de verzameling {2,3} en 3 naar de verzameling {1,2} stuurt. Maar er wordt niets naar {1,2,3} verzonden, dus dit werkt duidelijk niet.
om dit te veralgemenen, vraagt Cantor ons om “de verzameling van elementen die niet zijn opgenomen in de subset waaraan ze zijn toegewezen” te overwegen. Bijvoorbeeld, in de bovenstaande 3 wordt verzonden naar {1,2} maar 3 is niet in {1,2} dus past het criterium mooi.
in onze wiskundige verzameling-theoretische datering functie heeft ook deze verzameling een partner nodig. Maar wie kan de partner van deze set zijn? Als een element naar deze verzameling wordt gestuurd, dan kan het niet worden verzonden als het in die verzameling is opgenomen. (dat wil zeggen een tegenstrijdigheid). Waarom? Omdat het dan is opgenomen in de deelverzameling van elementen waaraan het is toegewezen! Wat als het niet in die set zit? Dan is dat ook een tegenstrijdigheid, alsof het niet in de verzameling is, door de definitie van de verzameling, moet het in de verzameling zijn omdat het niet is opgenomen in de deelverzameling waaraan het is toegewezen.
en zo wordt Cantor ‘ s zwarte magie gedaan. Door aan te nemen dat onze magische wiskundige dating functie werkte, vonden we een voorbeeld waar het niet kon werken.