notatie: in een ideale wereld zou ik α, β, γ respectievelijk gebruiken voor de coëfficiënten van lineaire, oppervlakte-en volumeuitbreiding. Helaas hebben we γ nodig voor de verhouding van de warmtecapaciteit. Veel mensen gebruiken β Voor volumeuitbreiding, dus Ik zal dat volgen. Wat moeten we dan gebruiken voor gebiedsuitbreiding? Ik gebruik b, dus we hebben nu α, b, β, wat erg onhandig is. Maar we hebben b zelden nodig, dus misschien kunnen we overleven.
lineaire uitzettingscoëfficiënt: α
oppervlakte-uitzettingscoëfficiënt: b
Coëfficiënt van volume-uitbreiding: β
Voor kleine reeksen van de temperatuur, de toename in lengte, oppervlakte en volume met een temperatuur kan worden vertegenwoordigd door
\ \]
\ \]
en
\ \]
Voor anisotrope kristallen, de coëfficiënt kan worden in verschillende richtingen verschillend zijn, maar voor isotrope materialen kunnen we schrijven
\^{2}=A_{1}\left \]
\^{3}=V_{1}\left en\]
Dus voor kleine uitbreidingen, \( \hat{b} \ca 2 \tilde{\alpha}\) en \( \widetilde{\beta} \ca 3 \hat{\alpha}\).
vergelijkingen 13.1.1, 2 en 3 bepalen de geschatte coëfficiënten over een eindige temperatuurbereik. De coëfficiënten bij een bepaalde temperatuur worden gedefinieerd in termen van de derivaten, d.w.z.
\
\
\
de relaties b = 2α en β = 3α zijn exact.
we specificeren “bij constante druk” omdat we in onze definitie duidelijk niet willen voorkomen dat het materiaal uitdijt door de druk op het materiaal te verhogen wanneer we het verwarmen.
voor vaste stoffen is de lineaire uitzettingscoëfficiënt meestal de geschikte parameter; voor vloeistoffen en gassen is de volumecoëfficiënt meestal geschikt. Voor de meeste bekende gewone metalen is de lineaire uitzettingscoëfficiënt van orde 10-5 K-1. Legeringen zoals de nikkel-staallegering, “invar”, gebruikt in de klokconstructie, kunnen veel kleinere coëfficiënten hebben. Gewoon glas heeft een coëfficiënt slechts een beetje minder dan die van metalen; pyrex en gesmolten kwarts hebben een veel kleinere expansie – vandaar hun gebruik in telescoopspiegels. Voor vloeistoffen en gassen wordt meestal de volumecoëfficiënt vermeld. De volumecoëfficiënt van kwik is ongeveer 0,00018 K-1. Water trekt tussen 0 en 4 oC samen en zet boven die temperatuur uit. De volumecoëfficiënt van lucht bij 0 oC is 0,0037 K-1.
bij kamertemperatuur en hoger varieert de lineaire uitzettingscoëfficiënt van metalen niet enorm met de temperatuur, maar bij lage temperaturen varieert de uitzettingscoëfficiënt veel sneller met de temperatuur – en dat geldt ook voor de specifieke warmtecapaciteit (zie paragraaf 8.10). Voor een bepaald metaal variëren de variatie van de uitzettingscoëfficiënt en de soortelijke warmtecapaciteit inderdaad op een vergelijkbare manier met de temperatuur, zodat voor een bepaald metaal de verhouding α/CP constant is over een groot temperatuurbereik.
oefening: een vierkante metalen plaat heeft een rond gat met een oppervlakte van 300 cm2 in het midden ervan. Als de lineaire uitzettingscoëfficiënt 2 × 10-5 Cº−1 is, bereken de oppervlakte van het gat wanneer de temperatuur van de plaat wordt verhoogd door 100 graden.
oefening: laat zien dat de volumeuitzettingscoëfficiënt van een ideaal gas 1 / T. Vergelijk dit met de bovenstaande numerieke waarde voor lucht.
hoewel de klassieke thermodynamica geen gedetailleerde microscopische processen behandelt, is het van belang de vraag te stellen waarom een vast materiaal bij verhitting uitzet. Stel je voor dat een kristallijne vaste stof bestaat uit atomen die met elkaar verbonden zijn door kleine bronnen, en elke veer wordt beheerst door Hooke ‘ s wet, en bijgevolg trilt elk atoom in een parabolische potentiaalput en beweegt zich in eenvoudige harmonische beweging. Als we de temperatuur verhogen, verhogen we de amplitude van de trillingen, maar we veranderen de gemiddelde posities van de atomen niet. Daarom verwachten we in zo ‘ n model geen uitbreiding bij verwarming. Echter, het werkelijke potentieel is niet parabolisch, maar is gevormd, althans kwalitatief, iets als de Lennard-Jones of Morse potentialen genoemd in hoofdstuk 6, paragraaf 6.8. Als het materiaal wordt verhit, neemt de amplitude van de trillingen toe, en door de hogere orde termen in de potentiaal, die het potentiaal zijn asymmetrische anharmonische vorm geven, neemt de gemiddelde scheiding van de atomen inderdaad toe, en dus hebben we expansie. Dus de expansie bij verhitting van een vast materiaal is een gevolg van de anharmoniciteit van de atomaire trillingen en de asymmetrie van het potentieel waarin ze bewegen.
\
\
Samenvatting
In het algemeen, als de lengte op T1 l1, de lengte l2 op T2 wordt gegeven door
\
In het geval waar dl/dT constant is, dus dat \(\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}\), dit wordt
\
In het geval dat α een constante is, dus het wordt
\
Dus naar de eerste order van kleine hoeveelheden, alle variëteiten van α gelijk zijn.
uitzettingscoëfficiënt als Tensorhoeveelheid. In hoofdstuk 4 vermeldde ik kort dat in het geval van een anistropisch kristal de warmtegeleidingscoëfficiënt een tensorhoeveelheid is. Hetzelfde geldt voor een anisotroop kristal voor de uitzettingscoëfficiënt. Dus als u tijdens een natuurkundig onderzoek gevraagd wordt om voorbeelden van tensorgrootheden te geven, kunt u deze als voorbeelden geven – hoewel er een klein risico zou kunnen zijn als uw leraar deze niet als tensors had beschouwd! De uitzettingscoëfficiënt van een anisotroop kristal kan in verschillende richtingen variëren. (In IJsland Spar-calciumcarbonaat-in één richting de coëfficiënt is eigenlijk negatief.) Als u een anisotroop kristal in de vorm van een kubus, waarvan de randen zijn niet evenwijdig aan de kristallografische as, het monster, bij verwarming, zal niet alleen uit te breiden in volume, maar het zal veranderen in vorm om een niet-rechthoekige parallellepipedum geworden. Het is echter mogelijk om het kristal in de vorm van een kubus zodanig te snijden dat, bij verhitting, het monster zich uitbreidt tot een rechthoekig parallellepipedum. De randen van de kubus (en het resulterende parallellepipedum) zijn dan parallel aan de belangrijkste uitzettingsassen, en de coëfficiënten in deze richtingen zijn de belangrijkste uitzettingscoëfficiënten. Deze richtingen zullen evenwijdig zijn aan de kristallografische Assen als het kristal een of meer symmetrische Assen heeft (maar uiteraard niet anders)