uma superfície fechada é uma superfície compacta e sem limites. Exemplos são espaços como a esfera, o Toro e a garrafa de Klein. Exemplos de superfícies não fechadas são: um disco aberto, que é uma esfera com uma punção; um cilindro, que é uma esfera com duas perfurações; e a tira de Möbius. Tal como acontece com qualquer variedade fechada, uma superfície embutida no espaço euclidiano que é fechada em relação à topologia euclidiana herdada não é necessariamente uma superfície fechada.; por exemplo, um disco incorporado em R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
que contém o seu limite é uma superfície topologicamente fechada, mas não uma superfície fechada.
Classificação dos tensoactivos fechados
O teorema de classificação das superfícies fechadas estados que qualquer ligados superfície fechada é homeomorphic para algum membro de uma destas três famílias:
- a esfera,
- ligado soma de g tori para g ≥ 1,
- ligado soma de k real projetiva aviões para k ≥ 1.
as superfícies das duas primeiras famílias são orientáveis. É conveniente combinar as duas famílias considerando a esfera como a soma conectada de 0 tori. O número g de tori envolvido é chamado de gênero da superfície. A esfera e o Toro têm características de Euler 2 e 0, respectivamente, e em geral a característica de Euler da soma conectada de G tori é 2-2g.
as superfícies da terceira família são não-orientáveis. A característica de Euler do plano projetivo real é 1,e em geral a característica de Euler da soma conectada de k deles é 2-K.
segue-se que uma superfície fechada é determinada, até ao homeomorfismo, por duas informações: a sua característica de Euler, e se é orientável ou não. Por outras palavras, a característica e orientabilidade de Euler classifica completamente as superfícies fechadas até ao homeomorfismo.
superfícies fechadas com múltiplos componentes conectados são classificadas pela classe de cada um dos seus componentes conectados, e assim geralmente se assume que a superfície está conectada.
monoid structureEdit
Relating this classification to connected sums, the closed surfaces up to homeomorphism form a comutative monoid under the operation of connected sum, as indeed do manifolds of any fixed dimension. A identidade é a esfera, enquanto o plano projetivo real e o Toro geram este monóide, com uma única relação P # P # P = P # T, que também pode ser escrito P # K = P # T, uma vez que K = P # P. Esta relação é às vezes conhecida como Teorema de Dyck depois de Walther von Dyck, que o provou em (Dyck 1888), e a superfície tripla de P # P # P é, portanto, chamada de superfície de Dyck.
geometricamente, connect-sum com um toro (#T) adiciona uma pega com ambas as extremidades ligadas ao mesmo lado da superfície, enquanto connect-sum com uma garrafa de Klein (# K) adiciona uma pega com as duas extremidades ligadas a lados opostos de uma superfície orientável; na presença de um plano projetivo (# P), A superfície não é orientável (não há noção de lado), portanto não há diferença entre Anexar um toro e anexar uma garrafa de Klein, o que explica a relação.
superfícies com “boundaryEdit”
superfícies compactas, possivelmente com “boundary”, são simplesmente superfícies fechadas com um número finito de furos (discos abertos que foram removidos). Assim, uma superfície compacta conectada é classificada pelo número de componentes contundentes e pelo gênero da superfície fechada correspondente – equivalentemente, pelo número de componentes contundentes, a orientação e característica de Euler. O gênero de uma superfície compacta é definido como o gênero da superfície fechada correspondente.
esta classificação decorre quase imediatamente da classificação de superfícies fechadas: a remoção de um disco aberto de uma superfície fechada produz uma superfície compacta com um círculo para o componente limite, e a remoção de discos abertos K produz uma superfície compacta com círculos disjuntos k para os componentes limite. As localizações precisas dos buracos são irrelevantes, porque o grupo homeomorfismo Age K-transitivamente em qualquer variedade conectada de dimensão pelo menos 2.
inversamente, o limite de uma superfície compacta é uma variedade de 1 fechada, e é, portanto, a União disjunta de um número finito de círculos; encher esses círculos com discos (formalmente, tomando o cone) produz uma superfície fechada.
A única compacta orientável superfície de gênero g e k limite de componentes é muitas vezes indicado Σ g , k , {\displaystyle \Sigma _{g,k},}
por exemplo, no estudo de mapeamento de classe do grupo.
Riemann surfacesEdit
uma superfície de Riemann é uma variedade 1 complexa. Em um nível puramente topológico, uma superfície de Riemann é, portanto, também uma superfície orientável no sentido deste artigo. Na verdade, cada superfície orientável compacta é realizável como uma superfície de Riemann. Assim, superfícies compactas de Riemann são caracterizadas topologicamente por seu gênero: 0, 1, 2, …. Por outro lado, o gênero não caracteriza a estrutura complexa. Por exemplo, existem inúmeras superfícies de Riemann compactas não-isomórficas do gênero 1 (as curvas elípticas).
tensoactivos não compactos
superfícies não compactas são mais difíceis de classificar. Como um exemplo simples, uma superfície não-compacta pode ser obtida por perfuração (removendo um conjunto finito de pontos) de uma variedade fechada. Por outro lado, qualquer subconjunto aberto de uma superfície compacta é ela mesma uma superfície não compacta; Considere, por exemplo, o complemento de um Cantor definido na esfera, também conhecido como a superfície da árvore de Cantor. No entanto, nem toda superfície não-compacta é um subconjunto de uma superfície compacta; dois contra-exemplos canônicos são a escada de Jacob e o monstro de Loch Ness, que são superfícies não-compactas com gênero infinito.
uma superfície não-compacta m tem um espaço não-vazio de extremidades E (M), que informalmente descreve as maneiras que a superfície “vai para o infinito”. O espaço E (M) é sempre topologicamente equivalente a um subespaço fechado do conjunto do Cantor. M pode ter um número finito ou infinito contável Nh de pegas, bem como um número finito ou infinito contável Np de planos projetivos. Se ambos Nh e Np são finitos, então estes dois números, e o tipo topológico de espaço de extremidades, classificam a superfície M até a equivalência topológica. Se ambos ou Nh e Np são infinitos, então o tipo topológico de M depende não só desses dois números, mas também de como o(s) infinito (s) se aproxima do espaço das extremidades. Em geral, o tipo topológico de M é determinado pelos quatro sub-espaços de E (M) que são pontos-limite de infinitamente muitos cabos e infinitamente muitos planos projetivos, pontos-limite de apenas cabos, e pontos-limite de nenhum.
superfícies que não são nem mesmo de segunda contagem
se se remove a suposição de segunda contagem da definição de uma superfície, existem (necessariamente Não-compactas) superfícies topológicas sem base contável para a sua topologia. Talvez o exemplo mais simples seja o produto cartesiano da linha longa com o espaço dos números reais.
outra superfície sem base contável para sua topologia, mas não requerendo o axioma da escolha para provar sua existência, é a variedade Prüfer, que pode ser descrita por equações simples que mostram que ela é uma superfície real-analítica. O Prüfer colector pode ser pensado como a metade superior de avião junto com um adicional de “língua” Tx pendurada diretamente abaixo do ponto (x,0), para cada x real.
Em 1925, Tibor Radó provou que todas as superfícies de Riemann (i.e. unidimensional, variedades complexas) são necessariamente segunda-contável (Radó do teorema). Por contraste, se se substitui os números reais na construção da superfície de Prüfer pelos números complexos, obtém-se uma variedade complexa bidimensional (que é necessariamente uma variedade real 4-dimensional) sem uma base contável.
ProofEdit
a classificação de superfícies fechadas é conhecida desde a década de 1860, e hoje existem várias provas.
provas topológicas e combinatórias em geral dependem do resultado difícil de que cada 2-variedade compacta é homeomórfica para um complexo simplicial, que é de interesse em seu próprio direito. The most common proof of the classification is (Seifert & Threlfall 1934) harv error: no target: CITEREFSeifertThrelfall1934 (help), which brings every triangulated surface to a standard form. A simplified proof, which avoids a standard form, was discovered by John H. Conway circa 1992, which he called the “Zero Irrelevancy Proof” or “ZIP proof” and is presented in (Francis & Weeks 1999).
uma prova geométrica, que produz um resultado geométrico mais forte, é o teorema da uniformização. Isto foi originalmente provado apenas para superfícies de Riemann na década de 1880 e 1900 por Felix Klein, Paul Koebe e Henri Poincaré.