“Ninguém irá conduzir-nos do paraíso que Cantor criou para nós” — David Hilbert
Qual a melhor maneira para passar no isolamento do que para refletir sobre o infinito? Vamos provar talvez a prova mais simples e elegante da Matemática: O Teorema de Cantor.Eu disse simples e elegante, mas não fácil!
Parte I: Afirmando o problema
o teorema de Cantor responde à questão de se os elementos de um conjunto podem ser colocados em uma correspondência um-para-um (‘emparelhamento’) com seus subconjuntos. (Tecnicamente falando, uma “bijeção”). Este tipo de problema está relacionado com um conceito matemático chamado “cardinalidade”. Podemos ver uma correspondência um-para-um como uma espécie de datação matemática set-teórica: queremos que cada elemento no set encontre sua correspondência romântica em outro conjunto, mas queremos evitar a poligamia, e queremos evitar que objetos matemáticos sejam únicos.
por exemplo, o conjunto {1,2,3} tem 3 elementos: 1, 2, 3.
Ele tem 8 subconjuntos: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
onde {} é conhecido como o “conjunto vazio’. Você pode ignorá-lo feliz por agora, se isso o deixa desconfortável: não será importante. Alternativamente, veja o acima como três bolas numeradas 1,2,3 e os subconjuntos como as diferentes maneiras que você pode colocar bolas em um pequeno saco. Uma coisa que podes fazer é não Pôr nada na cama: o conjunto vazio.
So far ,so * easy*. Afinal, para conjuntos finitos isso acaba por ser bastante óbvio. Se um conjunto tem elementos N, então o conjunto de subconjuntos tem 2 * * n elementos. No conjunto acima, o conjunto {1,2,3} tem 3 elementos, e o conjunto de subconjuntos (é uma boca cheia e confusa para ler, mas olhe para o exemplo para não se confundir!) tem 8 elementos. 8 = 2*2*2 = 2**3 como prometi.
* * a declaração “o conjunto de subconjuntos” pode ser um pouco assustadora. Para se sentir um pouco mais confortável, primeiro assegure-se que um subconjunto é um objeto matemático sensível. Se eu tiver alguns objetos matemáticos, posso agrupar alguns deles e deixar outros de fora. Você pode ver o conjunto original como todos os seus jogadores de futebol, e o conjunto de subconjuntos como todas as equipes potenciais que você pode fazer a partir desses jogadores, de qualquer tamanho. Quando chegamos a um número “infinito” de jogadores, as coisas podem ficar um pouco mais difíceis de conceituar, mas a idéia básica é a mesma.***
mas Cantor tinha definido seus pontos turísticos maiores. E conjuntos com um número infinito de elementos? Podemos comparar o tamanho de dois conjuntos com um número infinito de elementos? Sim.)
Step II: A prova
Cantor supõe que você encontrou um par que funciona.
isto é, você tem uma função, que você coloca em um elemento de um conjunto, e a saída é um subconjunto. Não só isso, mas para cada subconjunto você pode apontar para um elemento que é mapeado ou enviado pela função para esse subconjunto. Além disso, não são enviados dois elementos para o mesmo subconjunto.
No exemplo acima, alguém poderia propor a função que envia 1 para o conjunto {1}, 2 para o conjunto {2,3} e 3 para o conjunto {1,2}. Mas nada é enviado para {1,2,3} então claramente isto não funciona.
para generalizar isso, Cantor nos pede para considerar ‘o conjunto de elementos que não estão contidos no subconjunto a que estão mapeados’. Por exemplo, no 3 acima é enviado para {1,2} mas 3 não está em {1,2} por isso encaixa perfeitamente no critério.
In our mathematical set-theoretic dating function, this set, too, needs a partner. Mas quem pode ser o parceiro deste set? Se um elemento é enviado para este conjunto, então se ele está contido nesse conjunto então ele não pode ser. (isto é, uma contradição). Por quê? Porque é então contido no subconjunto de elementos a que foi mapeado! E se não estiver nesse conjunto? Então isso também é uma contradição, como se não estivesse no conjunto, pela definição do conjunto, ele deve estar no conjunto porque não está contido no subconjunto ao qual está mapeado.
e assim a magia negra de Cantor é feita. Assumindo que a nossa função mágica de datação matemática funcionou, encontrámos um exemplo onde não podia funcionar.