se #s# é um conjunto de objetos com uma operação binária # @ # (por exemplo, adição ou multiplicação), então diz-se que é fechado sob #@# se e somente se #a@b em s# para todos #a, b em s#.
isto é, dado quaisquer dois elementos #a# e # b# de # s#, a expressão #a@b# dá-lhe outro elemento de #s#.
assim, por exemplo, o conjunto de inteiros pares #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… }# é fechado sob adição e multiplicação, uma vez que se você adicionar ou multiplicar dois inteiros pares então você terá um inteiro par.
por contraste, o conjunto de inteiros ímpares é fechado sob multiplicação, mas não fechado sob adição.
isto torna-se muito mais interessante uma vez que também precisamos de fechar sob identidade e inversa.
Por exemplo, os nī umeros racionais #QQ# tem as propriedades:
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Fechado em adição #+# e multiplicação #*#
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Contêm uma identidade #0# para adição e #1# para a multiplicação.
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conter inversos de aditivos para qualquer elemento.
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conter inversos multiplicativos para qualquer elemento não-zero.
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várias outras propriedades que se resumem à adição e multiplicação trabalhando como normal (comutatividade, associatividade, distributividade, etc).
diz-se que os números racionais formam um campo.
o que acontece quando adicionamos #sqrt(2)# ao conjunto de Números Racionais?
deixa de ser fechado sob adição ou multiplicação. Por exemplo:
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se você adicionar qualquer número racional para #sqrt( 2)#, então você obter outro número irracional.
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se você multiplicar qualquer número irracional(exceto #0# ou #1#) por #sqrt (2)# então você obter outro número irracional.
a fim de torná-lo fechado novamente, devemos incluir todos os números da forma:
#um+bsqrt(2)#
onde #a, b em QQ#
, em Seguida, encontramos:
#(um+bsqrt(2)) + (c+dsqrt(2)) = (a+c)+(b+d)sqrt(2)#
#(um+bsqrt(2)) * (c+dsqrt(2)) = (ac+bd) + (ad+bc)sqrt(2)#
#(um+bsqrt(2))+((-a)+(-b)sqrt(2)) = 0#
#(um+bsqrt(2)) * ((a/(a^2-2b^2)) – b/(a^2-2b^2))sqrt(2)) = 1#
O complicado é o último, o que basicamente nos diz que os números da forma #a+bsqrt(2)# são fechadas sob inverso multiplicativo. Você poderia dizer que números não-zero da forma #a+bsqrt( 2) # estão fechados sob a divisão.