from Office of Academic Technologies on Vimeo.Exemplo-campo magnético de um cabo coaxial
agora vamos calcular os campos magnéticos de um cabo coaxial em diferentes regiões.Campo de um cabo coaxial. Um cabo coaxial consiste em duas regiões cilíndricas concêntricas, um núcleo interno, uma concha cilíndrica exterior, algo assim. Estas regiões cilíndricas condutoras são separadas por um meio isolante um do outro, e como um destes cilindros carregam a corrente em uma direção, que é chamada de corrente fluindo o núcleo interno como I sub a. A concha cilíndrica externa carrega a corrente I sub b na direção oposta. Se dermos algumas dimensões a este cabo, digamos que este raio é a, o raio interno da concha cilíndrica exterior é b, e o raio exterior da outra concha cilíndrica é C.
portanto, a corrente está fluindo através destes cilindros em direções opostas, e gostaríamos de determinar o campo magnético de tal cabo em diferentes regiões. Vamos começar com a região de tal forma que nosso ponto de interesse, a distância ao centro, é menor do que o raio A. em outras palavras, dentro do cilindro interior.
E vamos olhar para este caso de a vista de cima, e assim, temos aqui, vamos dizer, o interior do cilindro de seção transversal ponto de vista, e o exterior do escudo cilíndrico, algo como isso, e o interior do cilindro é transportar a corrente i sub um fora do avião, e o cilindro externo é transportar a corrente i sub b para o plano, por toda a essas regiões.
novamente, o raio interno do cilindro é a, e este raio é b e o raio da região externa é C. Bem, fizemos um exemplo muito semelhante anteriormente. Nossa primeira região de interesse é que nosso ponto de ponto a está dentro do cilindro interior. Digamos que algures por aqui, e a fim de encontrar o campo magnético neste local, que está a pouca distância r do centro, colocamos um laço empírico na forma de um círculo que coincide com a linha do campo magnético que passa por esse ponto, e vamos chamar este laço de c1 para a primeira região.
e a lei empire/s diz que B de dl integrado sobre este loop, c1, será igual a neu 0 vezes a corrente líquida que passa pela região, ou a superfície, cercada por este loop c1.
Como fizemos nos exemplos anteriores, como um loop irá satisfazer as condições para aplicar o império da lei, e o campo magnético será tangente à linha de campo, e que o campo de linha coincide com o ciclo que estamos escolhendo e dl é um incremental deslocamento do elemento ao longo deste ciclo, portanto o ângulo entre b e dl será sempre 0 graus para este caso.
assim, o lado esquerdo dar – nos-á magnitude b, magnitude dl vezes cosin de 0, integrado sobre o loop c1, será igual a neu 0 vezes I incluído.
Cosin de 0 é 1 e b é constante ao longo deste ciclo, já que o ciclo coincide com o campo magnético linha que passa através do ponto, e enquanto estamos nesse campo de linha, vamos ver o mesmo campo magnético de magnitude. Portanto, uma vez que a magnitude é constante, podemos levá-lo para fora da integral, portanto, o lado esquerdo acabamos com B vezes integral de dl sobre loop c1 é igual a neu 0 vezes I fechado.
Integral de c1, integral de dl, sobre laço c1 nos dará o comprimento desse laço, que é a circunferência desse círculo, e que será igual a 2pi vezes o raio desse círculo, que é pouco R vezes b será igual a neu 0 vezes I fechado.
I enclausurada é a corrente líquida que passa pela região rodeada por este loop c, de modo que esta é a superfície. O ciclo c rodeia este verde da região sombreada, e sabemos que por toda a superfície interna, a corrente que flui é que eu sub a, que basicamente cobre toda esta região aqui, e a fim de obter a corrente líquida que flui através de verde, região sombreada, vamos definir a densidade de corrente, que é de corrente por unidade de área de seção transversal, e se multiplicarmos que a densidade de corrente pela área cercada pelo ciclo c, obteremos a quantidade de corrente que passa através de uma superfície.
Portanto, se passarmos, teremos b vezes 2pir, este é o lado esquerdo, que é igual a neu0 vezes eu fechados, onde neste caso, anexei será igual a J vezes a área da região, que é pir ao quadrado, e aqui a densidade de corrente é a corrente total i dividido pelo total da área da seção transversal desse fio, e que é o pi vezes o quadrado.
Então, b vezes 2pir vai ser neu0 vezes, onde eu entre teremos que eu mais pia quadrado, e este é a densidade de corrente para a corrente que flui no interior do cilindro, e que eu deveria usar o subscrito um aqui porque nós definimos a quantidade de corrente que flui no interior do cilindro, como eu um sub. Eu sub-a sobre a pia quadrado vai dar-nos a densidade de corrente, e se multiplicarmos esta corrente por unidade de área, a área da região que nos interessa, que é pir quadrado, então vamos acabar com o total de corrente que passa através de uma superfície.
Aqui, pi e pi vai cancelar, e podemos cancelar um desses r praças, com o r no lado esquerdo, e deixando-b só vai acabar com o campo magnético no interior do interior do cilindro como neu0 i sub dividido por 2pia praça vezes r.
E, claro, isso é idêntico resultado com o exemplo que fizemos anteriormente para obter o campo magnético perfil de um transporte de corrente cilíndrica fio.Agora, como segunda região, vamos considerar o campo magnético para a região que o nosso ponto de interesse está entre os dois cilindros. Por outras palavras, r é inferior a b e superior a uma região.Se olharmos para aquela região estamos a falar desta parte, e nesta parte digamos que o nosso ponto de interesse está agora localizado algures por aqui. Mais uma vez, escolhemos um circuito fechado. Neste caso, vamos chamar este como c2, que coincide com a linha de campo magnético passando pelo ponto de interesse p. agora está localizado nesta região.
e para essa região, esta é a nossa região de concha cilíndrica exterior que está a transportar a corrente I sub b para o plano. Agora, para esta região, novamente, ao escolher este ciclo, que coincide com a linha de campo que passa através desse ponto, ele irá satisfazer as condições para aplicar a lei de ampère, e, portanto, a mão esquerda do lado da lei de ampère será idêntica à anterior, e que vai nos dar b nota dl integrada, mais agora ciclo c2, que é igual a neu0 eu fechados. O lado esquerdo vai dar-nos, novamente, b vezes 2pir. Claro, agora, a distância, pequeno r, é a distância do centro a este ponto para esta região.
E o lado direito, para este caso, agora vamos olhar para a corrente líquida que passa pela região cercada por ciclo c2, em outras palavras, a área cercada por ciclo c2, e que é amarela área sombreada, e quando olhamos para que a superfície vemos que toda a corrente que flui no interior do cilindro é passar por essa superfície, e é claro que qualquer coisa fora desta superfície é de interesse, e, portanto, neste caso, anexei vai ser igual, simplesmente, a corrente que flui no interior do cilindro, o que é que eu um sub. Portanto, do lado direito, teremos neu0 vezes I sub A, e resolvendo para o campo magnético teremos neu0 I sub a mais de 2pir para esta região.
assim, este é o caso, que r é entre b e a e para a parte anterior calculamos o campo magnético para a região de tal forma que r é menor que a.
agora vamos avançar e vamos calcular o campo magnético dentro da outra concha cilíndrica. Então, neste caso, estamos a falar de b na região onde r está entre c E B.Em outras palavras, agora estamos interessados na região interior desta outra concha cilíndrica. Vamos assumir que neste caso o nosso ponto de interesse está algures por aqui.Agora, novamente, escolhemos o nosso laço empírico de tal forma que coincide com a linha de campo que passa por esse ponto, portanto, ele vai ser, novamente, na forma de um círculo, e seu raio, r, agora é medido a partir do centro, apontando isto .
agora vamos chamar este loop como c3. Mais uma vez, os cálculos do lado esquerdo será semelhante às partes anteriores. Este laço irá satisfazer as condições para aplicar a lei de Ampere. A magnitude do campo magnético será constante em toda parte ao longo deste loop, e o ângulo entre b e dl será 0.
Assim, lei de Ampère, que é ponto b dl, integrada ao longo do ciclo c3 igual a neu0 anexei vai, eventualmente, dar-nos, para o lado esquerdo, o mesmo que acima, vai nos dar d vezes dpir, e do lado direito temos neu0 vezes eu fechados.Agora estamos a falar da corrente líquida que passa pela área cercada pelo loop c3. Se olharmos para que área nós vamos ver que, primeiro de tudo, nós estamos falando sobre essa área, agora, aqui, esse azul área sombreada, na região, vemos que todo o interior do cilindro, ou a corrente que flui no interior do cilindro estará passando por essa área, e para o outro escudo cilíndrico, podemos ver que apenas isso seção do cilindro irá contribuir para o campo magnético, porque a corrente fluindo através da região que é o nosso lado da superfície específica do seu interesse.Portanto, uma vez que I sub A está fluindo para fora do plano, e i sub b está fluindo para o plano, a corrente líquida vai ser basicamente a diferença entre essas duas correntes. Assim, podemos expressar que eu entre como eu um sub, vamos escolher essa direção, o nosso avião direção positiva, e que está se movendo para fora do avião, o que é positivo, e o outro é a fração da corrente que está se movendo para o avião e para expressar o que nós precisamos agora de expressar a densidade de corrente associada com a casca, que é a corrente total que flui através da shell, e o que é que eu sub b, dividido pelo total da área da seção transversal do condutor, nós estamos falando sobre a casca exterior, e o total de área de seção transversal do exterior do escudo cilíndrico é a área da grande cilindro menos a área deste pequeno cilindro.
assim, em outras palavras, que será igual a pic ao quadrado menos pib quadrado, e essa parte, esta expressão, vai ser igual à densidade de corrente do cilindro exterior.E esta densidade vezes a área de interesse dar-nos-á a corrente líquida que flui através dessa área. Então, em outras palavras, se pegarmos o produto da densidade atual com esta região azul sombreada, área da região sombreada, eu diria, então teremos a corrente líquida fluindo através dessa superfície, e isso é basicamente pir ao quadrado menos pib ao quadrado.Está bem. Nós podemos simplificar esta expressão escrevendo – a como eu incluí é igual a i sub a menos i sub B sobre o parêntesis pi C ao quadrado menos b ao quadrado vezes pi vezes R ao quadrado menos b ao quadrado.
aqui o pis cancelará, e portanto eu incluí será igual a esta quantidade. Em seguida, b vezes 2pir será igual a neu0 vezes I incluído e que é I Sub a menos R quadrado menos B quadrado, I sub b dividido por c quadrado menos b quadrado.
In order to get the magnetic field we leave that quantity alone on the left hand side of the equation, therefore, b will be equal to neu0 over 2pir times I sub a minus I sub B times R square minus b square, divided by c square minus b square equals parêntesis.
assim, no interior da concha cilíndrica exterior, a magnitude do campo magnético será igual a esta quantidade. É claro que a direção, a direção líquida do campo magnético, seja no sentido horário ou no sentido anti-horário, depende da magnitude destas correntes, e isto é para a região que r está entre c E B.
a última região é a região externa deste cabo coaxial. Então voltamos ao nosso diagrama, então estamos falando sobre que nosso ponto de interesse está localizado em algum lugar aqui, e novamente, escolhendo um loop empírico, que está passando pelo ponto de interesse e coincidindo com a linha de campo passando por esse ponto, ponto p, E que é a distância r do centro.
Do lado esquerdo de a lei de Ampère, vamos chamar este ciclo como c4, a lei de Ampère para este caso será a nota de b dl integrada ao longo do ciclo c4, que será chamado de neu0 vezes eu fechados, e do lado esquerdo, novamente, será semelhante ao anterior partes, que nos dará a b vezes 2pir, e que vai ser igual, para o anexei agora, vamos olhar para o nosso diagrama, nós estamos falando sobre o líquido corrente que passa através da área cercada por agora, toda esta região, e é cercada por ciclo c4, que estamos falando de toda esta região, e podemos facilmente ver que todo o a corrente que passa pelo cabo coaxial está a passar por este ponto, a passar por esta superfície, e isto é, o I sub a está a sair do avião e o I sub b está a entrar no avião.
Como resultado, o líquido corrente que passa através da área cercada por empírica ciclo c4 vai ser igual a i sub menos, eu sub b, já que estão fluindo em direções opostas, portanto, do lado direito vamos ter neu0 vezes eu sub menos, eu sub b, e a solução para campo magnético vamos acabar com a expressão final do neu0 2pir vezes eu sub menos, eu sub b.
e este é o campo magnético gerado fora deste cabo coaxial. Isto é para a região que r é maior que C.
Ok. Bem, se eu sub a for igual a sub b, se estas duas correntes, que são iguais em magnitude, uma vez que estão a fluir em direcções opostas, então eu enclausurado será igual a 0. Significa que o campo magnético fora do cabo coaxial será 0 para R maior que c região.