Abstrato
Clebsch—Gordan em que os três coeficientes angular, j 1, j 2, e j = j 3, são reordenados podem estar simplesmente relacionados um com o outro. O caso mais trivial envolve a troca da ordem dos números quânticos, j 1 m 1 e j 2 m 2. O estado do vetor ❘ j 1, j 2 j 2 m 2〉 é um produto direto de dois vetores envolvendo separado subspaces integral do espaço de Hilbert, ou em termos de coordenar a representação, a função de onda é um produto de funções envolvendo diferentes variáveis. Por exemplo, pode ser uma função de variáveis orbitais e pode ser uma função de variáveis spin. Assim, o produto destas duas funções não deve depender da ordem em que escrevemos as duas funções. Portanto, quando expandimos esta função do produto em terras do momento angular total eigenfunções, o resultado deve ser independente da ordem em que escrevemos a função do produto original , ou , com a possível exceção de um fator de fase global. Este fator de fase vem porque a nossa convenção de fase que fixa o sinal geral dos coeficientes Clebsch—Gordan dá preferência ao momento angular sentado nas posições número 1 e número 3 do coeficiente Clebsch—Gordan. Assim, 〈j 1 j 1 j 2 m 2❘j 3 j 3〉 deve ser positivo pela nossa convenção de fase. Do mesmo modo, 〈j 2 j 2 j 1 m 1❘j 3 j 3〉 deve também ser positivo. Pelo contrário, o coeficiente Clebsch—Gordan 〈j 1 m 1 j 2 j 2 2 j 3 j 3〉 tem o sinal com m 1 = j 3− j 2, Portanto, seu sinal é.