Notação: Em um mundo ideal, eu usaria, α, β, γ, respectivamente, para os coeficientes lineares, de área e de volume de expansão. Infelizmente, precisamos de γ Para a proporção de capacidades de calor. Muitas pessoas usam β Para expansão de volume, então eu vou seguir isso. O que, então, usar para a expansão da área? Vou usar b, então agora temos α, b, β, o que é muito desajeitado. No entanto, raramente precisaremos de b, por isso talvez possamos sobreviver.Coeficiente de dilatação linear: α
coeficiente de dilatação da área: b
Coeficiente de expansão do volume: β
Para pequenos intervalos de temperatura, o que aumenta em comprimento, área e volume com a temperatura pode ser representado por
\ \]
\ \]
e
\ \]
Para anisotrópica cristais, o coeficiente pode ser diferente em diferentes direções, mas, para materiais isotrópicos, podemos escrever
\^{2}=A_{1}\left \]
\^{3}=V_{1}\left\]
Assim, para pequenas expansões, \( \hat{b} \approx 2 \til{\alpha}\) e \( \widehat{\beta} \approx 3 \hat{\alpha}\).
equações 13.1.1, 2 e 3 definem os coeficientes aproximados em uma faixa de temperatura finita. Os coeficientes em uma determinada temperatura, são definidos em termos das derivadas, i.é.
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As relações b = 2α e β = 3α são exatas.
especificamos “a pressão constante” porque obviamente não queremos, na nossa definição, impedir que o material se expanda aumentando a pressão sobre ele quando o aquecemos.
para sólidos, o coeficiente de expansão linear é geralmente o parâmetro apropriado; para líquidos e gases, o coeficiente de volume é geralmente apropriado. Para os metais comuns mais conhecidos, o coeficiente de expansão linear é de ordem 10-5 K-1. Ligas como a liga de níquel-aço, “invar”, usado na construção de relógios, podem ter coeficientes muito menores. O vidro comum tem um coeficiente apenas um pouco menor que o dos metais; pyrex e quartzo fundido têm uma expansão muito menor-daí o seu uso em espelhos telescópicos. Para líquidos e gases é geralmente o coeficiente de volume que é citado. O coeficiente de volume de mercúrio é de cerca de 0,00018 K−1. A água contrai entre 0 e 4 oC e expande-se acima dessa temperatura. O coeficiente de volume do ar a 0 oC é de 0,0037 K-1.
a temperaturas ambientes e acima, o coeficiente de expansão linear dos metais não varia uma enorme quantidade com a temperatura, mas a baixas temperaturas o coeficiente de expansão varia muito mais rapidamente com a temperatura – assim como a capacidade térmica específica (ver secção 8.10). De facto, para um dado metal, a variação do coeficiente de expansão e a capacidade térmica específica variam com a temperatura de uma forma bastante semelhante, de modo que, para um dado metal, a razão α/CP é constante ao longo de uma grande gama de temperaturas.
exercício: uma placa de metal quadrado tem um buraco circular de 300 cm2 no meio dela. Se o coeficiente de expansão linear for de 2 × 10-5 Cº−1, calcular a área do orifício quando a temperatura da placa for elevada a 100 graus.Exercício: mostrar que o coeficiente de expansão do volume de um gás ideal é 1 / T. Compare isto com o valor numérico do ar indicado acima.
embora a termodinâmica clássica não trate de processos microscópicos detalhados, é de interesse perguntar Por que um material sólido se expande ao aquecer. Imaginemos um sólido cristalino a ser feito de átomos ligados uns aos outros por pequenas nascentes, e cada mola é governada pela Lei de Hooke, e consequentemente cada átomo está vibrando em um poço de potencial parabólico e está se movendo em simples movimento harmônico. Se aumentarmos a temperatura, aumentaremos a amplitude das vibrações, mas não mudaremos as posições médias dos átomos. Consequentemente, num tal modelo, não esperaríamos qualquer expansão com o aquecimento. No entanto, o potencial real não é parabólico, mas é moldado, pelo menos qualitativamente, algo como o potencial de Lennard-Jones ou Morse mencionado no Capítulo 6, Seção 6.8. Se o material é aquecido, a amplitude das vibrações aumenta, e, por causa dos Termos de ordem superior no potencial, que dão ao potencial sua forma harmônica assimétrica, a separação média dos átomos realmente aumenta, e assim temos expansão. Assim, a expansão sobre o aquecimento de um material sólido é uma consequência da anarmonicidade das vibrações atômicas e da assimetria do potencial em que se movem.
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Resumo
Em geral, se o comprimento em T1 é l1, o comprimento l2 T2 será dada por
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no caso Em que dl/dT é constante, de modo que \(\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}\), isso se torna
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No caso em que α é constante, por isso torna-se
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Assim, para a primeira encomenda de pequenas quantidades, de todas as variedades de α são iguais.Coeficiente de dilatação em quantidade tensora . No Capítulo 4, mencionei brevemente que, no caso de um cristal anistrópico, o coeficiente de condução térmica é uma quantidade tensor. O mesmo é verdade, para um cristal anisotrópico, do coeficiente de expansão. Assim, se, durante um exame de física, lhe pedissem para dar exemplos de quantidades tensoras, você poderia dar esses exemplos como exemplos – embora um pequeno risco possa estar envolvido se o seu professor não tivesse pensado neles como tensores! O coeficiente de expansão de um cristal anisotrópico pode variar em diferentes direções. (Na Islândia, o Espar – carbonato de cálcio-numa direcção o coeficiente é efectivamente negativo.) Se você cortar um cristal anisotrópico na forma de um cubo, cujas bordas não são paralelas ao eixo cristalográfico, a amostra, ao aquecer, não só se expandirá em volume, mas mudará de forma para se tornar um paralelepípedo não-retangular. No entanto, é possível cortar o cristal na forma de um cubo tal que, ao aquecer, a amostra se expande para um paralelepípedo retangular. As arestas do cubo (e o paralelepípedo resultante) são então paralelas aos eixos principais da expansão, e os coeficientes nestas direções são os principais coeficientes de expansão. Estas direções serão paralelas aos eixos cristalográficos se o cristal tiver um de mais eixos de simetria (mas obviamente não de outra forma)