#S#が二項演算#@#を持つオブジェクトの集合である場合（加算や乗算など）、#@#の下で閉じられていると言われます。#a@bがs#のすべての#a,bに対してS#の場合にのみ閉じられます。#a@bがS#のすべての#a,bに対して閉じられていると言われています。#a@bがs#のすべての#a,bに対して閉じられていると言われています。#a@bが閉じられていると言われています。つまり、#S#の任意の2つの要素#a#と#b#が与えられた場合、式#a@b#は#s#の別の要素を与えます。#a@b#は#s#の別の要素を与えます。#a@b#は#s#の別の要素を与えます。#a@b#は#s#の別の要素
だから、例えば、偶数の整数のセット#{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… 2つの偶数の整数を加算または乗算すると、偶数の整数が得られるため、加算と乗算の両方で閉じられます。
対照的に、奇数の整数の集合は乗算の下では閉じられますが、加算の下では閉じられません。
これは、identityとinverseの下でクロージャを必要とすると、はるかに興味深いものになります。
たとえば、有理数#QQ#は次のプロパティを持ちます:
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加算#+#と乗算の下で閉じます#*#
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加算のためのid#0#と乗算のための#1#を含みます。
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任意の要素の加法反転を含みます。
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任意の非ゼロ要素の乗法逆数を含みます。
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通常のように働く加算と乗算に沸く様々な他の特性（可換性、結合性、分配性など）。
有理数は体を形成すると言われています。有理数の集合に#sqrt(2)#を追加するとどうなりますか？
加算または乗算の下で閉じられなくなります。 例えば:
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任意の有理数を#sqrt(2)#に追加すると、別の無理数が得られます。
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無理数（＃0＃または＃1＃を除く）に＃sqrt（2）＃を掛けると、別の無理数が得られます。
再び閉じられるようにするには、フォームのすべての番号を含める必要があります:
#a+bsqrt(2)#
ここで、QQの＃a、b＃
次に、次のようになります。:
#(a+bsqrt(2))+(c+dsqrt(2))=(a+c)+(b+d)sqrt(2)#
#(（ａ Ｃ＋ｂ ｄ）＋（ａ ｄ＋ｂｃ）ｓｑｒｔ(2)#
#(a+bsqrt(2))+((-a)+(-b)sqrt(2)) = 0#
#(a+bsqrt(2))*((a/(a^2-2b^2))-(b/(a^2-2b^2))sqrt(2)) = 1#
トリッキーなものは最後のもので、基本的には#a+bsqrt(2)#という形式の数が乗法逆数の下で閉じられていることを示しています。 #A+bsqrt(2)#という形式のゼロ以外の数値は、除算の下で閉じられていると言うことができます。