円軌道

実際の軌道の詳細な挙動は、天体力学の関心事です（天体力学の記事を参照）。 このセクションでは、太陽のような中心体を中心とした地球のような惑星の理想化された均一な円軌道のみを扱います。 実際には、太陽についての地球の軌道は非常に正確に均一に円形ではありませんが、それはこの議論の目的のために十分に近い近似です。

均一な円運動の体は、常に式（40）で与えられる求心加速度を受ける。 ニュートンの第二法則によれば、この加速度を生成するために力が必要である。 周回する惑星の場合、力は重力です。 この状況を図9に示します。 太陽の引力は、地球に作用する内向き（求心力）の力です。 この力は、軌道運動の求心加速度を生成する。

これらのアイデアが定量的に表現される前に、一定の速度の軌道上で身体を維持するために力が必要な理由の理解が有用である。 その理由は、各瞬間に、惑星の速度が軌道に接しているからです。 重力がない場合、惑星は慣性の法則（ニュートンの最初の法則）に従い、一定の速度で速度の方向に直線で飛ぶでしょう。 重力は惑星の慣性傾向を克服し、それによって軌道上に維持するのに役立ちます。

太陽と地球のような二つの物体の間の重力は、次のように与えられます

ここで、MSとMEはそれぞれ太陽と地球の質量であり、rはそれらの中心間の距離であり、Gは6.674×10-11Nm2/kg2（キログラム当たりのニュートンメートルの二乗）に等しい普遍定数である。 力は2つの物体を結ぶ方向（すなわち、一様な円運動の半径ベクトルに沿って）に沿って作用し、マイナス記号は力が引力であり、地球を太陽に向かって引き寄せるように作用していることを示している。

地球の表面の観察者にとって、惑星は太陽から（およそ）一定の距離で静止しているように見えます。 したがって、観測者には、地球に作用する力（太陽の重力など）は、地球を平衡状態に保つ等しい反対の力によってバランスを取らなければならないと思われる。 言い換えれば、重力が地球を太陽に引こうとしている場合、それが起こるのを防ぐために、いくつかの反対の力が存在しなければなりません。 現実には、そのような力は存在しません。 地球は不均衡な力によって引き起こされる自由に加速された動きにある。 見かけの力は、力学では擬似力として知られていますが、観測者が実際に加速運動しているという事実によるものです。 軌道運動の場合、重力のバランスをとる外側の擬似力は遠心力と呼ばれます。

均一な円軌道の場合、重力は式（40）で与えられる内向きの加速度a=−v2/rを生成します。 ここで、ｆは式（４ １）によって与えられる重力力である。 これらの方程式を組み合わせると、惑星の速度vと太陽からの距離rとの関係が得られます:

速度は惑星の質量に依存しないことに留意すべきである。 これは、すべての物体が同じ加速度で地球に向かって落下し、振り子の周期がその質量とは無関係であるというまったく同じ理由で発生します。 公転している惑星は、実際には自由に落下している天体です。

方程式(42)はケプラーの第三法則の特別な場合（円軌道の場合）であり、天体力学の記事で議論されている。 V=2π r/T、ここで2π rは軌道の円周であり、Tは完全な軌道を作る時間である（すなわち、Tは惑星の寿命の一年である）という事実を用いて、T2=(4π2/GMS)r3を示すことは容易である。 この関係は、地球の周りの円軌道（この場合、MEはMSに置き換えられなければならない）または他の中心体の周りの軌道上の衛星にも適用され得る。